15.12. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ПО АНАЛОГОВОМУ ПРОТОТИПУ

Пусть задан аналоговый фильтр с передаточной функцией и импульсной характеристикой и требуется построить эквивалентный ему (в определенном смысле) цифровой фильтр.

Рассмотрим физически наглядный, хотя и не во всех задачах эффективный, способ, основанный на дискретизации дифференциального уравнения, описывающего исходную аналоговую цепь.

Рис. 15.18. Цепь, описываемая дифференциальным уравнением (15.63)

Подобный прием был использован в § 8.18.

Для сокращения выкладок обратимся к простейшему четырехполюснику, представленному на рис. 15.18. Передаточная функция и импульсная характеристика этого четырехполюсника

(15.63)

Выпишем основные соотношения между

Используя соответствие (8.113), переписываем (15.64) в форме

Переходя к дискретному времени и повторяя рассуждения, приведшие к (8.114), получаем разностное уравнение

Этому уравнению соответствует цифровой рекурсивный фильтр первого порядка с передаточной функцией и импульсной характеристикой [см. (12.11) и (12.46)]

(15.67)

Весовые коэффициенты синтезируемого фильтра должны быть

Сопоставим полученные характеристики с соответствующими характеристиками исходного (аналогового) фильтра . Сначала сравним АЧХ

Подставив в последнее выражение из формул (15.68), получим

Приуменьшении шага дискретизации Т до значения, малого по сравнению с , аргумент косинуса в области частот, соизмеримых с отвечает условию так что При этом

С помощью этого выражения легко оценивать влияние Т на отклонение от . При это выражение несущественно отличается от

Обратимся к сравнению импульсных характеристик При можно положить . Тогда отличается от только постоянным коэффициентом вместо

Итак, для удовлетворительного совпадения характеристик цифрового и аналогового фильтров в данном примере требуется выполнение условия .

При более сложных цепях синтез, основанный на дискретизации дифференциального уравнения, становится громоздким. Более эффективен способ синтеза цифровых фильтров по заданным полюсам и нулям передаточной функции аналогового прототипа на -плоскости. Задача синтеза при этом сводится к рациональному выбору оператора преобразования -плоскости в -плоскость. От выбранного оператора зависят свойства и характеристики цифрового фильтра.

Наиболее простым оператором преобразования является соотношение использованное в гл. 12. В этом случае полюсы и нули определяются равенствами

(15.69)

Метод, основанный на операторе иногда называют методом стандартного -преобразования.

Выясним степень приближения характеристик синтезируемого цифрового фильтра к аналоговой модели на примере рассмотренного выше четырех полюсника (см. рис. 15.18). Передаточная функция определяемая выражением (15.63), имеет один полюс

Основываясь на (15.69), находим полюс на -плоскости

Тогда

(15.70)

и АЧХ фильтра

(15.71)

Далее, импульсная характеристика [см. (12.46)]. Замечаем, что ) совпадает (с точностью до постоянного коэффициента ) с импульсной характеристикой дискретизованной с шагом Т, причем это совпадение не зависит от Т (в отличие от метода, основанного на дискретизации дифференциального уравнения цепи).

Аналогичный результат имеет место и для более сложных цепей.

В связи с этим метод синтеза, основанный на стандартном преобразовании , получил название метода, инвариантного относительно импульсной характеристики. При этом, однако, АЧХ цифрового фильтра может существенно отличаться от АЧХ аналогового прототипа, что было объяснено и проиллюстрировано в § 12.8, п. 2.