Тогда функцию 
можно определить с помощью интеграла
(16.47)
имея в виду, что при 
и нормировке 
Определенная таким образом функция 
является однозначной. Используем аналогичный способ устранения неоднозначности комплексного логарифма для дискретного сигнала.
Логарифмическая производная по аналогии с (16.46)
или
(16.48)
где штрих обозначает производную по z, a 
рассматривается как z-преобразование, которое можно записать в виде ряда
(16.49)
Заметим, что применив к (16.49) обратное 
-преобразование, получим 
, которое есть не что иное, как искомый кепстр (комплексный). Однако предварительно необходимо устранить неоднозначность комплексного логарифма 
. С этой целью продифференцируем (16.49):
и умножим 
Входящий в это выражение ряд по отрицательным степеням z представляет собой z-преобразование последовательности 
поэтому с помощью (16.40) получаем
(16.50)
Найденное таким образом значение 
можно обозначать символом 
аналогичным обозначению кепстра мощности 
Приведенные рассуждения справедливы при условии, что окружность единичного радиуса на z-плоскости входит в область сходимости функции 
. Заменив контур интегрирования С на |z| = 1, перепишем (16.50) в форме
(16.51)
Итак, комплексный кепстр найден без обращения к логарифму и, следовательно, однозначно.
При 
значение кепстра можно определить непосредственно из второй части выражений (16.41):
Поскольку 
является нечетной функцией частоты, получаем:
(16.51)
Наряду с описанным методом, основанным на логарифмической производной, широко распространен метод прямого вычисления комплексного логарифма с помощью БПФ. При этом используются соотношения
Главное значение аргумента 
вычисляется на ЭВМ непосредственно с помощью стандартной программы. Это главное значение фазы затем «разворачивается» так, чтобы получились отсчеты из непрерывной ФЧХ спектра сигнала. Непрерывная ФЧХ 
и отсчеты 
показаны на рис. 16.17, а, а главное значение 
— на рис. 16.17, б.
Рис. 16.17. Устранение неоднозначности фазы 
: а) непрерывная ФЧХ 
; б) главная часть фазы; в) корректирующая последовательность
В пределах одного интервала 
набег фазы значительно меньше 
. На частотах 
где скачок 
) превышает 
для восстановления истинного аргумента требуется добавить — 
соответственно при скачке
— я требуется добавить 
На рис. 16.17, б изображена корректирующая последовательность, добавляемая к последовательности 
В заключение рассмотрим важный для практики случай входной последовательности 
, когда z-преобразование (одностороннее) определяется выражением
(16.52)
причем полюсы и нули функции 
расположены внутри единичной окружности, т. е. радиус сходимости ряда 
Подобные последовательности называются минимально-фазовыми, по аналогии с системами, передаточная функция которых 
имеет особые точки (полюсы и нули) внутри круга 
(см. § 15.9).
Таким образом, модуль и аргумент z-преобразования минимально-фазовой последовательности однозначно связаны, а комплексный логарифм
обладает тем свойством, что его действительная и мнимая части образуют пару преобразований Гильберта. В этом случае комплексный кепстр можно вычислять по формуле
которая отличается от (16.20) только степенью 
в аргументе логарифма.
Из последнего выражения видно, что комплексный кепстр минимальнофазового сигнала 
равен кепстру мощности 
того же сигнала, и для его получения можно воспользоваться схемой, представленной на рис. 16.11.
Простейшим примером минимально-фазового сигнала является 
с 
-преобразованием 
имеющим нуль 
и полюс 
[см. (12.22)].
Сигнал 
рассмотренный в § 16.7, является другим примером минимально-фазового сигнала.
, спектральная плотность которого 
— непрерывная антисимметричная функция 
— главное значение аргумента, определяемое «по модулю 
, т. е. с отбрасыванием целого числа 
так что 
Неоднозначность можно устранить, основываясь на непрерывности функции 
и задании ее значения на какой-либо фиксированной частоте. Из-за нечетности функции 
целесообразно положить 
Продифференцируем 
по частоте:
(16.46)
