15.9. СВЯЗЬ МЕЖДУ АМПЛИТУДНО- И ФАЗОЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ В ЦИФРОВЫХ ЦЕПЯХ

Линейные электрические цепи делятся на два класса: минимально-фазовые и неминимально-фазовые.

К первым относятся цепи, у которых между АЧХ и ФЧХ существует однозначное соответствие, так что задание одной из характеристик полностью определяет вторую. Ко второму классу относятся цепи, у которых между АЧХ и ФЧХ нет однозначного соответствия.

В теории аналоговых электрических цепей этот вопрос детально изучен. Установлено, что если передаточная функция четырехполюсника не имеет нулей в правой -полуплоскости и, следовательно, постоянная передачи

(15.46)

не имеет полюсов в указанной полуплоскости, то четырехполюсник является минимально-фазовым.

На оси частот постоянную передачи можно представить в форме

(15.46)

В этом выражении — ФЧХ, а

(15.47)

— логарифмическое затухание четырехполюсника.

При условии отсутствия нулей функции в правой -полуплоскости имеет место равенство

(15.48)

где — фиксированная частота:

Из (15.46) и (15.48) вытекают следующие соотношения:

(15.49)

Таким образом, при оговоренных выше условиях связаны между собой однозначно преобразованием Гильберта [см. (3.62), (3.63)].

Переход от логарифмического затухания к АЧХ совершается с помощью соотношения, обратного соотношению (15.47):

(15.51)

Обратимся к установлению связи между АЧХ и ФЧХ в цифровых цепях. Основываясь на определении передаточной функции цифрового фильтра (12.33), (12.34), переходим от к функции и по аналогии с выражением (15.46) к функции

(15.52)

где

Исходя из условия, что функция не имеет полюсов вне круга [что тождественно ранее принятому условию отсутствия полюсов функции в правой -полуплоскости], можно получить равенство, аналогичное (15.48):

(15.53)

Подставив приведем интеграл в (15.53) после перехода к переменной к виду

Подставим в (15.53) по формуле (15.52):

(15.53)

Воспользуемся равенством

Тогда, выделив в (15.53) действительную и мнимую части, придем к следующим формулам:

(15.54)

Первое слагаемое в правой части (15.54) имеет смысл среднего значения в полосе частот от до

Соотношения (15.54), (15.55), как это вытекает из условия отсутствия нулей функции вне круга единичного радиуса справедливы для минимально-фазовых цифровых цепей.

Как и передаточная функция логарифмическое затухание и ФЧХ дискретной цепи являются периодическими функциями частоты. Это позволяет существенно упростить соотношения, связывающие между собой АЧХ и ФЧХ.

С этой целью запишем функции и в виде рядов Фурье:

(15.56)

Косинусоидальный ряд для обусловлен четностью этой функции относительно , а синусоидальный ряд — нечетностью функции .

Соответственно коэффициенты рядов (15.56) и (15.57) определяются формулами

(15.58)

Подставим ряд (15.56) в (15.55):

Первый интеграл равен нулю, а последующие .

Таким образом, приходим к следующему ряду для (опуская индекс 1 при ):

(15.60)

Аналогично подстановка ряда (15.57) в (15.54) приводит к выражению

(15.61)

Из сопоставления рядов (15.60) и (15.57), а также (15.61) и (15.56) вытекает важное соотношение

(15.62)

Следовательно, по заданной функции , записанной в виде ряда Фурье, можно найти коэффициенты ФЧХ . При заданной ФЧХ (также в виде ряда Фурье) функцию можно найти с точностью лишь до Физический смысл этого факта очевиден, так как величина

зависящая только от АЧХ фильтра , может изменяться в широких пределах (изменением усиления) при сохранении ФЧХ.

Рис. 15.14. Фазо-частотная характеристика цифрового фильтра, соответствующая АЧХ, равной

Рис. 15.15. Фазо-частотная характеристика цифрового фильтра с АЧХ, равной

Итак, для полного описания передаточной функции минимально-фазовой цифровой цепи достаточно знать коэффициенты Фурье одной из характеристик: ФЧХ или логарифмического затухания .

Вычисление коэффициентов ряда Фурье любой из характеристик заданной на интервале несравненно проще, чем вычисление интегралов в бесконечных пределах, требующееся при анализе аналоговых цепей [см. (15.49) и (15.50)].