15.11. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Как и аналоговые, цифровые фильтры обычно синтезируются на основе передаточной функции, представленной в виде рациональной дроби (12.33). В результате соответствующей аппроксимации заданной передаточной функции определяется положение нулей и полюсов на z-плоскости, после чего находятся весовые коэффициенты входящие в (12.34).

Цифровой фильтр можно реализовать либо в виде совокупности простых звеньев (первого или второго порядка), либо в виде канонической схемы, описанной в § 12.3 (см. рис. 12.6).

При разбиении фильтра на простые звенья отпадают все ограничения, отмеченные в § 15.2 по отношению к аналоговым цепям. В цифровых цепях вопросы согласования входных, выходных и нагрузочных сопротивлений, а также вопросы развязки отдельных звеньев вообще не возникают. В связи с этим наряду с каскадным (последовательным) соединением простых звеньев широко применяется их параллельное включение.

В первом случае функция (12.33) записывается в виде произведения простых множителей, каждый из которых является передаточной функцией звена (см. аналогичное разбиение в § 15.2). Во втором случае функция (12.33) разлагается на простые дроби

где — вычет функции в полюсе

Если знаменатель содержит всего m корней, из которых — число вещественных (лежащих на действительной оси), а — число комплексносопряженных пар корней , то

Это выражение легко приводится к виду

где

Как в каскадной, так и в параллельной схеме отдельные звенья реализуются по схеме, описанной в § 12.8 (см. рис. 12.21). Весовые коэффициенты звена второго порядка определяются по формуле (12.57), а звена первого порядка — непосредственно из передаточной функции звена.

Существенно различны подходы к синтезу трансверсальных и рекурсивных фильтров.

В § 12.2 отмечалось, что передаточная функция трансверсального фильтра не имеет полюсов и импульсная характеристика является ограниченной последовательностью , содержащей отсчетов, где Н — число элементов памяти, а значения равны весовым коэффициентам фильтра .

Рис. 15.17. Симметричная (а) и антисимметричная (б) импульсные характеристики трансверсального фильтра

Из этого следует, что задание импульсной характеристики непосредственно определяет как структуру трансверсального фильтра, так и его передаточную функцию

В случае же рекурсивного фильтра структура и весовые коэффициенты более сложным образом связаны с импульсной характеристикой и передаточной функцией. Эти вопросы рассматриваются в следующем параграфе. Здесь мы рассмотрим некоторые особенности синтеза трансверсальных фильтров.

В § 12.8 и 15.10 приводились примеры простейших трансверсальных фильтров со строго линейной ФЧХ. Выявим требования к весовым коэффициентам, при которых обеспечивается линейность ФЧХ при любом значении N. Используем для этого выражение (12.9) и для сокращения записи ограничимся значением

Соответствующая этой передаточной функции импульсная характеристика представлена на рис. 15.17, а.

Наложим условие симметрии весовых коэффициентов, т. е. и вынесем за скобки множитель

Выбор знака плюс или минус перед правой частью приведенного выражения зависит от соотношения коэффициентов , а также от их знаков, фазовая же характеристика линейна и определяется как

где k = 1,2, 3,... при нечетных значениях .

При четных это выражение принимает вид

Фильтры с линейной ФЧХ можно осуществить также при антисимметричной импульсной характеристике (рис. 15.7, б).

Трансверсальные фильтры с линейной ФЧХ применяются в дифференцирующих устройствах, а также при исследовании различных систем с нелинейными ФЧХ. Большое число элементов памяти и весовых коэффициентов, достигающее сотен, не является препятствием при использовании микроэлектронной аппаратуры.