5.9. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ

В реальной цепи, охваченной обратной связью, всегда имеются реактивные элементы, накапливающие энергию. Даже в усилителе на резисторах имеются такие элементы (паразитные емкости схемы и усилительных приборов, индуктивности проводов и т. д.). Реактивные элементы создают дополнительные фазовые сдвиги. Если на какой-либо частоте эти сдвиги дают в сумме дополнительный угол в 180°, то обратная связь из отрицательной превращается в положительную и создаются условия, при которых возникает паразитная генерация.

Это обстоятельство во многих случаях существенно ограничивает эффективность применения обратной связи, так как при больших значениях для устранения паразитной генерации требуются специальные фазокомпенсаторы и другие устройства, уменьшающие крутизну ФЧХ в кольце обратной связи. Однако часто оказывается, что введение в схему новых элементов приводит лишь к сдвигу частоты паразитной генерации в область очень низких или очень высоких частот.

Итак, применение обратной связи тесно связано с проблемой обеспечения устойчивости цепи.

Для правильного построения цепи и выбора ее параметров большое значение приобретают методы определения устойчивости цепи. В настоящее время известно несколько критериев, различающихся больше по форме, нежели по существу. В основе большинства этих критериев лежит критерий устойчивости решений дифференциального уравнения, описывающего исследуемую цепь.

Пусть линейное однородное уравнение для цепи с сосредоточенными (и постоянными) параметрами задано в форме

где ток, напряжение и т. д., а постоянные коэффициенты — действительные числа, зависящие от параметров цепи.

Решение уравнения (5.83), как известно, имеет вид

где — постоянные, — корни характеристического уравнения

Условие устойчивости состояния покоя цепи заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя свободные (переходные) токи и напряжения были затухающими. А это, в свою очередь, означает, что корни уравнения (5.84) должны быть либо отрицательными действительными величинами либо комплексными величинами с отрицательными действительными частями.

Рис. 5.23. К примеру определения устойчивости усилителя с обратной связью

Из этих простых физических представлений вытекает следующий фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем: система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. Заметим, что левая часть характеристического уравнения (5.84) представляет собой не что иное, как знаменатель передаточной функции цепи, записанной в форме

Таким образом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсами передаточной функции этой цепи.

Отсюда следует, что сформулированные выше условия отрицательности действительных частей корней равносильны следующему положению: для устойчивости цепи необходимо, чтобы передаточная функция не имела полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной .

Это хорошо известное из теории цепей положение можно распространить и на передаточную функцию цепи с обратной связью. Поясним это на примере резонансного усилителя с обратной связью (рис. 5.23).

Передаточную функцию (по напряжению) усилителя определим по формуле (5.70):

а передаточную функцию цепи обратной связи приравняем , где М — взаимная индуктивность.

Тогда передаточная функция усилителя, охваченного обратной связью,

Находим корни уравнения

Рассмотрим два возможных случая: отрицательной и положительной обратной связи.

Для создания отрицательной обратной связи произведение должно быть отрицательной величиной. Поскольку при , т. е. при резонансе, является отрицательной величиной, то коэффициент должен быть положительной величиной: . При этом действительные части обоих корней

отрицательны при любом значении М.

При положительной обратной связи

Итак, при отрицательной обратной связи рассматриваемая цепь устойчива при любом значении М, а при положительной обратной связи — только при выполнении условия

где — коэффициент усиления на резонансной частоте [см. (5.65)].

В тех случаях, когда цепь описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, исследование корней характеристического уравнения, необходимое для решения вопроса об устойчивости системы, является сложной задачей.

Оказывается, что ее можно решить, анализируя соотношения между коэффициентами уравнения без определения самих корней уравнения. Это можно выполнить с помощью теоремы Гурвица, которая утверждает, что для того, чтобы действительные части всех корней уравнения

с действительными коэффициентами и были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все определители составленные из коэффициентов уравнения по следующей схеме:

Сформулированный алгебраический критерий устойчивости часто называют критерием Рауса — Гурвица. При составлении определителей по указанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим степень характеристического уравнения, заменяются нулями.

Поэтому, например, для уравнения четвертой степени получаются следующие определители:

Нетрудно видеть, что все последовательные определители являются главными диагональными минорами определителя . Так как последний столбец определителя содержит лишь один отличный от нуля элемент , расположенный на главной диагонали, то выполняется равенство

Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвица условия устойчивости можно формулировать в виде следующих неравенств:

Так, для характеристического уравнения второй степени

для уравнения третьей степени ,

т.е. . Так как положительны, то и .

Для уравнения четвертой степени:

Из условия 3 на основании условий 4 и 1 вытекает неравенство

Поэтому условие 3 можно заменить условием

Таким образом, для уравнения четвертой степени получаются следующие условия устойчивости:

Поясним применение критерия Гауса—Гурвица на простом примере рассмотренного резонансного усилителя с обратной связью (см. рис. 5.23). Характеристическое уравнение этой цели при (отрицательная обратная связь)

Сформулированные для уравнения второй степени условия устойчивости (5.87) в данном случае принимают вид

Первое условие выполняется при любом значении , а второе от М не зависит.

При положительной обратной связи цепь устойчива при выполнении условия совпадающего с (5.86).

Критерий Рауса—Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости цепи с заданными параметрами (т. е. коэффициентами дифференциального уравнения). Однако им неудобно пользоваться при экспериментах, так как обычно бывают известны не коэффициенты уравнения, а передаточная функция разомкнутой цепи . Кроме того, критерий Рауса—Гурвица не дает ясных указаний, как неустойчивую цепь сделать устойчивой.