Главная > Радиотехнические цепи и сигналы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5.9. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ

В реальной цепи, охваченной обратной связью, всегда имеются реактивные элементы, накапливающие энергию. Даже в усилителе на резисторах имеются такие элементы (паразитные емкости схемы и усилительных приборов, индуктивности проводов и т. д.). Реактивные элементы создают дополнительные фазовые сдвиги. Если на какой-либо частоте эти сдвиги дают в сумме дополнительный угол в 180°, то обратная связь из отрицательной превращается в положительную и создаются условия, при которых возникает паразитная генерация.

Это обстоятельство во многих случаях существенно ограничивает эффективность применения обратной связи, так как при больших значениях для устранения паразитной генерации требуются специальные фазокомпенсаторы и другие устройства, уменьшающие крутизну ФЧХ в кольце обратной связи. Однако часто оказывается, что введение в схему новых элементов приводит лишь к сдвигу частоты паразитной генерации в область очень низких или очень высоких частот.

Итак, применение обратной связи тесно связано с проблемой обеспечения устойчивости цепи.

Для правильного построения цепи и выбора ее параметров большое значение приобретают методы определения устойчивости цепи. В настоящее время известно несколько критериев, различающихся больше по форме, нежели по существу. В основе большинства этих критериев лежит критерий устойчивости решений дифференциального уравнения, описывающего исследуемую цепь.

Пусть линейное однородное уравнение для цепи с сосредоточенными (и постоянными) параметрами задано в форме

где ток, напряжение и т. д., а постоянные коэффициенты действительные числа, зависящие от параметров цепи.

Решение уравнения (5.83), как известно, имеет вид

где — постоянные, — корни характеристического уравнения

Условие устойчивости состояния покоя цепи заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя свободные (переходные) токи и напряжения были затухающими. А это, в свою очередь, означает, что корни уравнения (5.84) должны быть либо отрицательными действительными величинами либо комплексными величинами с отрицательными действительными частями.

Рис. 5.23. К примеру определения устойчивости усилителя с обратной связью

Из этих простых физических представлений вытекает следующий фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем: система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. Заметим, что левая часть характеристического уравнения (5.84) представляет собой не что иное, как знаменатель передаточной функции цепи, записанной в форме

Таким образом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсами передаточной функции этой цепи.

Отсюда следует, что сформулированные выше условия отрицательности действительных частей корней равносильны следующему положению: для устойчивости цепи необходимо, чтобы передаточная функция не имела полюсов в правой полуплоскости комплексной переменной .

Это хорошо известное из теории цепей положение можно распространить и на передаточную функцию цепи с обратной связью. Поясним это на примере резонансного усилителя с обратной связью (рис. 5.23).

Передаточную функцию (по напряжению) усилителя определим по формуле (5.70):

а передаточную функцию цепи обратной связи приравняем , где М — взаимная индуктивность.

Тогда передаточная функция усилителя, охваченного обратной связью,

Находим корни уравнения

Рассмотрим два возможных случая: отрицательной и положительной обратной связи.

Для создания отрицательной обратной связи произведение должно быть отрицательной величиной. Поскольку при , т. е. при резонансе, является отрицательной величиной, то коэффициент должен быть положительной величиной: . При этом действительные части обоих корней

отрицательны при любом значении М.

При положительной обратной связи

Итак, при отрицательной обратной связи рассматриваемая цепь устойчива при любом значении М, а при положительной обратной связи — только при выполнении условия

где — коэффициент усиления на резонансной частоте [см. (5.65)].

В тех случаях, когда цепь описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, исследование корней характеристического уравнения, необходимое для решения вопроса об устойчивости системы, является сложной задачей.

Оказывается, что ее можно решить, анализируя соотношения между коэффициентами уравнения без определения самих корней уравнения. Это можно выполнить с помощью теоремы Гурвица, которая утверждает, что для того, чтобы действительные части всех корней уравнения

с действительными коэффициентами и были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все определители составленные из коэффициентов уравнения по следующей схеме:

Сформулированный алгебраический критерий устойчивости часто называют критерием Рауса — Гурвица. При составлении определителей по указанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим степень характеристического уравнения, заменяются нулями.

Поэтому, например, для уравнения четвертой степени получаются следующие определители:

Нетрудно видеть, что все последовательные определители являются главными диагональными минорами определителя . Так как последний столбец определителя содержит лишь один отличный от нуля элемент , расположенный на главной диагонали, то выполняется равенство

Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвица условия устойчивости можно формулировать в виде следующих неравенств:

Так, для характеристического уравнения второй степени

для уравнения третьей степени ,

т.е. . Так как положительны, то и .

Для уравнения четвертой степени:

Из условия 3 на основании условий 4 и 1 вытекает неравенство

Поэтому условие 3 можно заменить условием

Таким образом, для уравнения четвертой степени получаются следующие условия устойчивости:

Поясним применение критерия Гауса—Гурвица на простом примере рассмотренного резонансного усилителя с обратной связью (см. рис. 5.23). Характеристическое уравнение этой цели при (отрицательная обратная связь)

Сформулированные для уравнения второй степени условия устойчивости (5.87) в данном случае принимают вид

Первое условие выполняется при любом значении , а второе от М не зависит.

При положительной обратной связи цепь устойчива при выполнении условия совпадающего с (5.86).

Критерий Рауса—Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости цепи с заданными параметрами (т. е. коэффициентами дифференциального уравнения). Однако им неудобно пользоваться при экспериментах, так как обычно бывают известны не коэффициенты уравнения, а передаточная функция разомкнутой цепи . Кроме того, критерий Рауса—Гурвица не дает ясных указаний, как неустойчивую цепь сделать устойчивой.

1
Оглавление
email@scask.ru