6.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ

В радиоэлектронике часто требуется осуществлять преобразование сигнала, имеющее характер дифференцирования или интегрирования.

На вход линейного устройства, осуществляющего дифференцирование, подается сигнал с выхода должен сниматься сигнал вида

В интегрирующем устройстве связь между выходным и входным сигналами должна иметь следующий вид:

В этих выражениях — постоянная величина, имеющая размерность времени.

Дифференцирование и интегрирование являются линейными математическими операциями. Следовательно, для дифференциального или интегрального преобразования сигнала следует применять линейные цепи и элементы, обладающие требуемыми соотношениями между входными и выходными величинами.

Рис. 6.6. Простейшая цепь, используемая для дифференцирования или интегрирования

Рис. 6.7. Дифференцирующая цепь

Этим требованиям отвечают в принципе такие элементы, как обычные конденсаторы или катушки индуктивности в сочетании с резистором при надлежащем съеме выходного сигнала.

Рассмотрим сначала цепь, изображенную на рис. 6.6.

Подразумевая под входным сигналом ЭДС, составляем уравнение для тока в цепи

Умножив это уравнение на С и обозначив постоянную времени цепи , получим

Характер функциональной связи между током и входным сигналом зависит от постоянной времени . Рассмотрим два крайних случая: очень малого и очень большого При очень малом первым слагаемым в левой части уравнения (6.16) можно пренебречь. Продифференцировав оставшееся после отбрасывания этого слагаемого уравнение по t, получим

Отсюда видно, что напряжение на резисторе R, совпадающее по форме с , пропорционально производной входного сигнала

Таким образом, приходим к схеме дифференцирующего четырехполюсника, показанной на рис. 6.7, в которой выходной сигнал снимается с резистора R.

При очень больших значениях второе слагаемое в левой части уравнения (6.16) можно отбросить. При этом ток

совпадает по форме с входным сигналом, а напряжение на конденсаторе С, равное

пропорционально интегралу от входного сигнала s (t). Отсюда следует, что для осуществления интегрирования RС-цепь должна быть такой, как показано на рис. 6.8. Аналогичные результаты можно получить с помощью RL-цепи (рис. 6.9 и 6.10).

Постоянная времени дифференцирующей цепи должна быть достаточно мала, а интегрирующей — достаточно велика.

Принцип дифференцирования для первой схемы (см. рис. 6.9) можно представить следующим образом. При достаточно большом сопротивлении R ток через RL-цепь почти не зависит от и совпадает по форме с входным сигналом s(t). Выходной же сигнал , снимаемый с индуктивности L,

В схеме, показанной на рис. 6.10, наоборот, ток в основном определяется индуктивностью L (так как R весьма мало):

выходной же сигнал, снимаемый с резистора R,

Уточним теперь использованные выше понятия «малое» и «большое» . Это проще всего сделать на основе спектрального рассмотрения. Если входной сигнал имеет спектральную плотность , то при точном дифференцировании выходной сигнал

должен иметь спектральную плотность , а при точном интегрировании — плотность (см. (2.59) и (2.60)]. Это означает, что для точного дифференцирования требуется четырехполюсник с коэффициентом передачи

а для точного интегрирования

Передаточные функции показанных на рис. 6.7 и 6.8 четырехполюсников соответственно

Из сравнения выражений (6.17) и (6.19) видно, что для удовлетворительного дифференцирования требуется, чтобы выполнялось условие

Это неравенство должно удовлетворяться для всех частот спектра входного сигнала, в том числе и для самой высокой.

Рис. 6.8. Интегрирующая цепь

Рис. 6.9. Дифференцирующая цепь

Рис. 6.10. Интегрирующая цепь

Рис. 6.11. Дифференцирующая цепь с применением отрицательной обратной связи

Рис. 6.12. Интегрирующее устройство с применением отрицательной обратной связи

Из сравнения же выражений (6.18) и (6.20) видно, что для удовлетворительного интегрирования требуется выполнение условия

Это неравенство должно удовлетворяться для всех частот спектра входного сигнала, в том числе и для самой низкой.

Из неравенств (6.21), и (6.22) следует, что при заданной цепи дифференцирование тем точнее, чем ниже частоты, на которых концентрируется энергия входного сигнала, а интегрирование тем точнее, чем выше эти частоты.

Проиллюстрируем неравенство (6.21) следующим примером. Пусть сигнал на входе схемы, показанной на рис. 6.7, является импульсом с длительностью и требуется указать значение обеспечивающее удовлетворительное дифференцирование. Наивысшую частоту в спектре сигнала можно оценить величиной (см. § 2.11). Следовательно, неравенство (6.21) принимает вид или . Итак, постоянная времени дифференцирующей цепи должна быть мала по сравнению с длительностью импульса

Из неравенств (6.21), (6.22) вытекает также следующее принципиальное положение: чем точнее дифференцирование или интегрирование, тем меньше (по модулю) передаточная функция цепи, осуществляющей это преобразование сигнала. Сказанное относится к простейшим RC- или -цепям, представленным на рис. 6.7-6.10. В пределе, при идеальном преобразовании,

Таким образом, простые RC- или RL-цепи пригодны лишь для приближенного дифференцирования или интегрирования сигналов. Указанные операции можно осуществить достаточно точно при введении в схемы рис. 6.7 и 6.8 усилителя с отрицательной обратной связью при обеспечении условия . Этому требованию отвечают операционные усилители (ОУ).

На рис. 6.11 представлена схема дифференцирующего устройства на ОУ. Как известно, входное сопротивление ОУ очень велико, благодаря чему коэффициент обратной связи, определяемый отношением близок к единице. Напряжение являющееся разностью напряжения, поступающего со входа, и напряжения обратной связи, настолько мало по сравнению с мвых, а следовательно, и по сравнению с напряжением на R и С, что в первом приближении точки 1—2 в схеме на рис. 6.11 можно считать эквипотенциальными. Это позволяет считать, что подлежащий дифференцированию сигнал приложен непосредственно к емкости, так что ток

Определим ток . Падение напряжения на резисторе R совпадает с напряжением , откуда вытекает равенство

Учитывая, что ток близок к нулю (из-за малости их и очень большого входного сопротивления ОУ), приходим к соотношению , откуда

или

В реальных ОУ усиление К измеряется тысячами и более, поэтому точность операции дифференцирования вполне достаточна для радиотехнических применений.

Схема интегрирующего устройства на ОУ представлена на рис. 6.12. В данной схеме

откуда