1.7. Погрешность восстановления непрерывных сигналов по дискретным данным

При выборе шага дискретизации непрерывных процессов, в частности сигналов и помех, необходимо оценить погрешность замены  непрерывных процессов дискретными. В настоящем параграфе рассматриваются вопросы оценки этой погрешности.

Пусть непрерывный процесс  изображается, на ЦВМ. в виде последовательности его значений  в равноотстоящих точках . Ясно, что дискретный процесс лишь приближенно изображает непрерывный процесс. Требуется найти количественную меру этого приближения, т. е. найти погрешность дискретизации. Величина погрешности дискретизации, очевидно, зависит от того, что понимается под погрешностью. Определение погрешности дискретизации зависит от той задачи, в которой используется дискретный процесс вместо непрерывного. При рассмотрении некоторой конкретной задачи погрешность дискретизации целесообразно определить как величину отклонения результата ее решения при использовании дискретного процесса от результата решения этой же задачи при использовании непрерывного процесса. Поскольку задачи могут быть самыми разнообразными, то определить заранее, к чему может привести дискретизация, не представляется возможным. Поэтому обычно под погрешностью дискретизации процессов понимается та погрешность, с которой может быть восстановлен непрерывный процесс по его дискретным значениям, т. е. понимается погрешность в задаче интерполяции непрерывного процесса по дискретным точкам.

Рис. 1.3

Восстановление непрерывного процесса  по соответствующему ему дискретному процессу  обычно можно представить как пропускание последовательности «мгновенных» импульсов (-функций) с огибающей  и периодом  через линейный интерполирующий фильтр (ИФ) (восстанавливающий элемент) с некоторой импульсной переходной характеристикой (интерполирующей функцией) . Этому соответствует схема восстановления, показанная на рис. 1.4. Она содержит ключ, замыкающийся в моменты времени , и интерполирующий фильтр (восстановление как процесс прерывания и сглаживания [49]). В результате восстановления образуется сигнал

                          (1.34)

В соответствии с данной схемой осуществляется восстановление процессов при наиболее распространенных видах интерполяции: ступенчатой несимметричной и симметричной (метод прямоугольников, рис. 1.5 а, б), линейной (метод трапеций, рис. 1.5, в) и др.

Рис. 1.5

Ошибку интерполяции

                             (1.35)

можно рассматривать как выходной сигнал схемы, представленной на рис. 1.6, при воздействии на входе сигнала .

Ниже найдены достаточно простые общие выражения для корреляционной функции, энергетического спектра и дисперсии ошибки  в предположении, что  — стационарный центрированный случайный процесс. Из общих соотношений в качестве примеров выведены частные соотношения, соответствующие наиболее распространенным типам интерполирующих фильтров.

Аналогичная задача, но иными методами, решалась в работах . Однако в них получены более сложные, а в ряде случаев лишь частные и приближенные решения. Здесь предложен новый подход к рассматриваемой задаче, позволяющий найти ее общее точное решение, отличающееся, кроме того, тем, что из него следует простое решение задачи оптимизации характеристик интерполирующих фильтров по критерию минимума среднеквадратической ошибки интерполяции.

Рис. 1.6