3.3. Моделирование линейных непрерывных динамических систем с помощью рекуррентных разностных уравнений

Сущность разностных методов [85] состоит в замене процессов в непрерывных линейных системах процессами в эквивалентных импульсных линейных системах, поведение которых можно описать довольно простыми рекуррентными соотношениями (уравнениями в конечных разностях). Математическим аппаратом при этом служит дискретное преобразование Лапласа (-преобразование).

Как было показано в § 3.2 [см. формулы (3.20), (3.21)], передаточная функция  эквивалентной импульсной системы в смысле дискретного преобразования Лапласа является -преобразованием от импульсной переходной характеристики  приведенной непрерывной части, т. е.

.

Для линейных систем с постоянными сосредоточенными параметрами дискретные передаточные функции эквивалентных импульсных систем обычно удается найти в замкнутой форме в виде дробно-рациональной функции [85]

.                           (3.23)

Структурная схема дискретного фильтра с передаточной функцией (3.23) показана на рис. 2.2.

Производя идентификацию передаточной функции (3.23), приходим к следующему рекуррентному алгоритму формирования дискретных значений выходного сигнала:

.                   (3.24)

Полученное уравнение во многих случаях значительно сокращает вычисления по сравнению с формулами дискретного свертывания, что показано на приведенных ниже примерах.

К настоящему времени предложено большое количество методов аппроксимации передаточной функции  непрерывной динамической системы дробно-рациональной дискретной передаточной функцией . Выражения для  в этих методах получаются непосредственно из рассмотрения различных способов интерполяции входного сигнала, а также другими путями.

Описания методов дискретной аппроксимации непрерывных систем в том или ином виде приводятся, кроме первоисточников, также в работах [49, 63, 85, 109].

Ниже дается систематизированное изложение изложенных методов дискретной аппроксимации в принятых в данной книге обозначениях и с рациональными выводами формул. Менее перспективные методы вынесены в петит. Сравнительная характеристика методов дана в заключительном пункте этого параграфа.