2.13. Моделирование случайных полей

Случайными полями называются случайные функции многих переменных [71]. В дальнейшем будут рассматриваться четыре переменные: координаты , определяющие положение точки в пространстве, и время . Случайное поле будет обозначаться как . Случайные поля могут быть скалярными (одномерными) и векторными ( - мерными).

В общем случае скалярное поле  задается совокупностью своих -мерных распределений

а векторное поле  — совокупностью своих  - мерных распределений

Если статистические характеристики поля не изменяются при изменении начала отсчета времени, т. е. они зависят, только от разности , то такое поле называется стационарным. Если перенос начала координат не влияет на статистические характеристики поля, т. е. они зависят только от разности  то такое поле называется однородным по пространству. Однородное поле изотропно, если его статистические характеристики не изменяются при изменении направления вектора , т. е. зависят лишь от длины  этого вектора.

Примерами случайных полей являются электромагнитное поле при распространении электромагнитной волны в статистически неоднородной среде, в частности электромагнитное поле сигнала, отраженного от флюктуирующей цели (это, вообще говоря, векторное случайное поле); объемные диаграммы направленности антенн и диаграммы вторичного излучения целей, на формирование которых оказывают влияние случайные параметры; статистически неровные поверхности, в частности земная поверхность и поверхность моря при волнениях, и ряд других примеров.

В данном параграфе рассматриваются некоторые вопросы моделирования случайных полей на ЦВМ. Как и ранее, под задачей моделирования понимается разработка алгоритмов для формирования на ЦВМ дискретных реализаций поля, т. е. совокупностей выборочных значений поля

,

где  — дискретная пространственная координата;  — дискретное время.

При этом полагается, что исходными при моделировании случайного поля являются независимые случайные числа. Совокупность таких чисел будет рассматриваться как случайное -коррелированное поле, называемое в дальнейшем -полем. Случайное -поле это элементарное обобщение дискретного, белого шума на случай нескольких переменных. Моделирование -поля на ЦВМ осуществляется весьма просто: пространственно-временной координате  ставится в соответствие выборочное значение  числа из датчика нормальных случайных чисел с параметрами (0, 1).

Задача цифрового моделирования случайных полей является новой в общей проблеме разработки системы эффективных алгоритмов для имитации различного рода случайных функций, ориентированной на решение статистических задач радиотехники, радиофизики, акустики и т. д. методом моделирования на ЦВМ.

В самом общем виде, если известен  или - мерный закон распределения, случайное поле можно моделировать на ЦВМ как случайный  или -мерный вектор, используя приведенные в первой главе алгоритмы. Однако ясно, что этот путь даже при сравнительно небольшом числе дискретных точек по каждой координате является очень сложным. Например, моделирование плоского (не зависящего от ) скалярного случайного поля в 10 дискретных точках по координатам  и  и для 10 моментов времени сводится к формированию на ЦВМ реализаций  -мерного случайного вектора.

Упрощения алгоритма и сокращения объема вычислений можно достичь, если, подобно тому, как это было сделано по отношению к случайным процессам, разрабатывать алгоритмы для моделирования специальных классов случайных полей.

Рассмотрим возможные алгоритмы моделирования стационарных однородных скалярных нормальных случайных полей. Случайные поля этого класса так же, как и стационарные нормальные случайные процессы, играют очень важную роль в приложениях [71]. Такие поля полностью задаются своими пространственно-временными корреляционными функциями

.

(Здесь и в дальнейшем предполагается, что среднее значение поля равно нулю.)

Столь же полной характеристикой рассматриваемого класса случайных полей является функция спектральной плотности поля , представляющая собой четырехмерное преобразование Фурье от корреляционной функции  (обобщение теоремы Винера-Хинчина [71]):

,

где  - скалярное произведение векторов  и . При этом

.

Функция спектральной плотности  случайного поля и энергетический спектр  стационарного случайного процесса имеют аналогичный смысл, а именно: если случайное поле  представить в виде суперпозиции пространственно-временных гармоник со сплошным спектром частот, то интенсивность их (суммарная дисперсия амплитуд) в полосе частот  и полосе пространственных частот  равна .

Случайное поле с интенсивностью  можно получить из случайного поля , имеющего спектральную плотность , если пропустить поле  через пространственно-временной фильтр с коэффициентом передачи, равным единице в полосе ,  и равным нулю вне этой полосы.

Пространственно-временные фильтры (ПВФ) являются обобщением обычных (временных) фильтров. Линейные ПВФ, как и обычные фильтры, описываются с помощью импульсной переходной характеристики [87]

и передаточной функции

.

Процесс линейной пространственно-временной фильтрации поля  можно записать в виде четырехмерной свертки:

                     (2.140)

где  - поле на выходе ПВФ с импульсной переходной характеристикой . При этом

,                                           (2.141)

,                                (2.142)

где  - функции спектральной плотности и корреляционные функции полей на входе и на выходе ПВФ соответственно.

Доказательство соотношений (2.141), (2.142) полностью совпадает с доказательствам аналогичных соотношений для стационарных случайных процессов.

Аналогия гармонического разложения и фильтрации случайных полей с гармоническим разложением и фильтрацией случайных процессов позволяет предложить для их моделирования аналогичные алгоритмы.

Пусть требуется построить алгоритмы для моделирования на ЦВМ стационарного однородного по пространству скалярного нормального поля  с заданной корреляционной функцией  или функцией спектральной плотности .

Если поле  задано в конечном пространстве, ограниченном пределами , и рассматривается на конечном интервале времени , то для формирования на ЦВМ дискретных реализаций этого поля можно использовать алгоритм, основанный на каноническом разложении поля в пространственно-временной ряд Фурье и являющийся обобщением алгоритма (1.31):

.                      (2.143)

Здесь  и  - случайные независимые между собой нормально распределенные числа с параметрами  каждое, причем дисперсии  определяются из соотношений:

;          (2.144)

,

где  - вектор, изображающий предел интегрирования по пространству;  - дискретные частоты гармоник, по которым производится каноническое разложение корреляционной функции в пространственно-временной ряд Фурье.

Если область разложения поля во много раз больше его пространственно-временного интервала корреляции, то дисперсии легко выражаются через спектральную функцию поля (см. § 1.6, п.3)

                    (2.145)

Формирование дискретных реализаций  при моделировании случайных полей по данному методу осуществляется путем непосредственного вычисления их значений по (формуле (2.143), в которой в качестве  и  берутся выборочные значения нормальных случайных чисел с параметрами , при этом бесконечный ряд (2.143) приближенно заменяется усеченным рядом Дисперсии  вычисляются предварительно по формулам (2.144) или (2.146).

Рассмотренный алгоритм хотя и не позволяет формировать реализации случайного поля, неограниченные по пространству и по времени, однако подготовительная работа для его получения довольно простая, в особенности при использовании формул (2.145), и этот алгоритм позволяет формировать дискретные значения поля в произвольных точках пространства и времени выбранной области. При формировании дискретных реализаций поля с постоянным шагом по одной или нескольким координатам для сокращенного вычисления тригонометрических функций целесообразно использовать рекуррентный алгоритм вида (1.3).

Неограниченные дискретные реализации однородного стационарного случайного поля можно формировать с помощью алгоритмов пространственно-временного скользящего суммирования -поля, аналогичных алгоритмам скользящего суммирования для моделирования случайных процессов. Если  - импульсная переходная характеристика ПВФ, формирующего из -поля поле с заданной функцией спектральной плотности  (функцию , можно получить путем четырехмерной трансформации Фурье функции , см. § 2.2, п. 2), то, подвергая процесс пространственно-временной фильтрации -поля дискретизации, получим

,      (2.146)

где  - константа, определяемая выбором шага дискретизации по всем переменным  - дискретное -поле.

Суммирование в формуле (2.146) осуществляется по всем значениям , при которых слагаемые не являются пренебрежимо малыми или равными нулю.

Подготовительная работа при данном методе моделирования заключается в нахождении соответствующей весовой функции  пространственно-временного формирующего фильтра.

Подготовительная работа и процесс суммирования в алгоритме (2.146) упрощаются, если функцию  можно представить в виде произведения

.                                   (2.147)

В этом случае, как это следует из (2.144), корреляционная функция поля является произведением вида

,                   (2.148)

где .

Если разложение корреляционной функции на множители вида (2.148) в строгом смысле невыполнимо, его можно сделать с некоторой степенью приближения, в частности, положив

.     (2.149)

При разложении на произведение (2.149) пространственных, корреляционных функций изотропных случайных полей, у которых , частичные корреляционные функции  и  будут, очевидно, одинаковыми. При этом, ввиду приближенности формулы (2.149), пространственная корреляционная функция  будет соответствовать, вообще говоря, некоторому неизотропному случайному полю. Так, например, если  является экспоненциальной функцией вида

,                                 (2.150)

то согласно (2.149) . В этом случае заданная корреляционная функция  аппроксимируется корреляционной функцией

.                    (2.151)

Случайное поле с корреляционной функцией (2.151) неизотропно. Действительно, если у поля с корреляционной функцией (2.150) поверхность постоянной корреляции (геометрическое место точек пространства, в которых значения поля имеют одинаковую корреляцию со значением поля в некоторой произвольной фиксированной точке пространства) является сферой, то в случае (2.151) поверхность постоянной корреляции есть поверхность куба, вписанного в указанную сферу. (Максимальное расстояние между этими поверхностями может служить мерой погрешности аппроксимации).

Примером, в котором разложение (2.149) является точным, может служить корреляционная функция вида

.

Разложение (2.149) позволяет свести довольно сложный процесс четырехкратного суммирования в алгоритме (2.146) к повторному применению однократного скользящего суммирования.

Таковы основные принципы моделирования нормальных однородных стационарных случайных полей. Моделирование ненормальных однородных стационарных полей с заданным одномерным законом распределения можно осуществить путем соответствующего нелинейного преобразования нормальных однородных стационарных полей, используя методы, рассмотренные в § 2.7.

Пример 1. Пусть импульсная переходная характеристика пространственного фильтра для формирования плоского скалярного постоянного во времени поля имеет вид

.

Тогда

где  и  - шаги дискретизации по переменным  и  соответственно; ;

.

Из полученных формул видно, что для получения дискретных реализаций плоского поля можно сначала с помощью скользящего суммирования с весовой функцией  сформировать совокупности независимых дискретных реализаций  случайного процесса с корреляционной функцией , где  - номер реализации в совокупности,  - номер дискреты в совокупности, а затем с помощью скользящего суммирования этих реализаций по индексу  с весовой функцией  сформировать дискретные реализации поля. Процесс такого двукратного сглаживания  - поля поясняет рис. 2.11.

В рассматриваемом примере процесс скользящего суммирования легко сводится к вычислению в соответствии с рекуррентными формулами (§ 2.3)

Этот пример допускает обобщения. Во-первых, аналогичным образом, очевидно, можно формировать реализации более сложных полей, чем плоское, постоянное во времени поле. Во-вторых, пример подсказывает возможность применения рекуррентных алгоритмов для моделирования случайных полей. Действительно, если импульсную переходную характеристику ПВФ, формирующего из -поля поле с заданной корреляционной функцией, представить как произведение вида (2.151), то, как было показано, формирование реализаций поля сводится к повторному применению алгоритмов для моделирования стационарных случайных процессов с корреляционными функциями . Эти алгоритмы могут быть сделаны рекуррентными, если корреляционные функции , имеют вид (2.50) (случайные процессы с рациональным спектром).

Рис. 2.11

В заключение следует заметить, что в этом параграфе были рассмотрены только основные принципы цифрового моделирования случайных полей и даны некоторые возможные моделирующие алгоритмы. Целый ряд вопросов остался незатронутым, например: моделирование векторных (в частности, комплексных), нестационарных, неоднородных, ненормальных случайных полей; вопросы нахождения весовой функции пространственно-временного формирующего фильтра по заданным корреляционно-спектральным характеристикам поля (в частности, возможность применения метода факторизации для многомерных спектральных функций); примеры применения цифровых моделей случайных полей при решении конкретных задач и т. д.

Изложение этих вопросов выходит за рамки данной книги. Многие из них являются предметом будущих исследований.