2. Получение параметров рекуррентных алгоритмов методом дискретизации непрерывных формирующих фильтров

Предположим, что известна импульсная переходная характеристика  линейного непрерывного формирующего фильтра с постоянными сосредоточенными параметрами, на выходе которого образуется заданный случайный процесс  при воздействии на входе белого шума  с корреляционной функцией (2.41). Если функция  неизвестна, ее можно найти методом факторизации заданной рациональной спектральной функции  процесса  (см. § 2.2).

Покажем, что при соответствующей дискретной аппроксимации процесса фильтрации белого шума непрерывным формирующим фильтром можно получить рекуррентные алгоритмы, не обладающие методической погрешностью, для моделирования случайных процессов с рациональным спектром в отличие от приближенных алгоритмов скользящего суммирования, которые получались ранее при дискретизации формирующих фильтров.

Поясним это на следующем примере.

Пусть непрерывный случайный процесс  есть реакция линейной системы с импульсной переходной характеристикой вида , на воздействие белого шума  с единичной спектральной плотностью, т. е. с корреляционной функцией (2.41). Выразим процесс  через входной сигнал с помощью интеграла Дюамеля

.

Значение процесса  в точке  равно

.              (2.71)

Если разбить интервал интегрирования в формуле (2.71) на два смежных:  и  (рис. 2.4) и вынести при интегрировании в первом интервале множитель  то получим

.                       (2.72)

Случайные величины  и  независимы между собой, так как они являются интегралами от белого шума по неперекрывающимся промежуткам.

Рис. 2.4

Используя свойство дельта-коррелированности шума , нетрудно убедиться, что дисперсия случайной величины  равна

.                  (2.73)

Из (2.72) и (2.73) получаем следующий рекуррентный алгоритм для формирования значений случайного процесса  в точках :

,               (2.74)

где  - последовательность независимых случайных чисел с параметрами (0,1).

При  и  алгоритм (2.74) совпадает с алгоритмом (2.70), полученным с использованием факторизации для случайного процесса с корреляционной функцией (2.68).

Возможность вычисления интеграла свертки (2.71) в более экономичном рекуррентном виде (2.72) основана на том свойстве экспоненциальной весовой функции, что сдвиг экспоненты  по времени на величину  равносилен умножению ее на постоянный множитель :

.               (2.75)

Это объясняет природу рекуррентности. Действительно, при вычислении  входной сигнал  должен быть проинтегрирован в интервале  с весом  [см. рис. 2.4, где показан график функции  и условно показан шум ]. При переходе к вычислению  требуется снова проинтегрировать входной сигнал  на интервале , но уже с весом  и добавить интеграл от  в пределах от  до  с весом . Экономия при вычислениях состоит в том, что интеграл от  на интервале  не вычисляется повторно с измененной весовой функцией, а получается в соответствии с (2.75) умножением на  уже вычисленного интеграла .

Рассмотренный прием получения рекуррентных алгоритмов допускает обобщения. Так, например, если у непрерывной системы передаточная функция

имеет простые вещественные корни, то ее импульсная переходная характеристика  является в соответствии с (2.39) суперпозицией экспонент:

,                                    (2.76)

где   - корни уравнения .

Сумме экспонент импульсной переходной характеристики  соответствует, как нетрудно видеть, сумма рекуррентных уравнений для получения значений моделируемого процесса :

,                                 (2.77)

;

 - последовательность независимых (при различных ) случайных  - мерных векторов с коррелированными координатами . Элементы корреляционной матрицы вектора  имеют вид

.                  (2.78)

Формула (2.77) является простым обобщением формулы (2.72). Для формирования векторов с коррелированными составляющими можно использовать методы, описанные в первой главе. Так, например, в трехмерном случае, используя для формирования случайных векторов метод линейного преобразования вектора  с независимыми случайными координатами , согласно соотношениям (1.19), (1.20) получим следующий алгоритм:

где

 - корреляционная матрица с элементами, вычисляемыми по формуле (2.78); —трехмерная выборка независимых случайных чисел с параметрами (0,1).

Рассмотрим теперь случай, когда корни передаточной функций непрерывного формирующего фильтра простые, но не обязательно вещественные. Тогда импульсная переходная характеристика фильтра также будет являться суммой экспонент вида (2.76), но эти экспоненты либо частично, либо полностью будут комплексными. При вещественной импульсной переходной характеристике  комплексные экспоненты будут попарно сопряженными, так что можно записать

,

где  — число комплексных корней;  — комплексные корни;  — действительные корни.

В этом случае по аналогии с рассмотренными выше примерами нетрудно прийти к следующему рекуррентному алгоритму формирования дискретных значений шума на выходе непрерывного формирующего фильтра:

,                             (2.79)

где

 - последовательность независимых между собой -мерных нормальных случайных векторов с коррелированными координатами .

Элементы корреляционной матрицы вектора  имеют вид

,                  (2.80)

где

.

Алгоритм (2.77) отличается от алгоритма (2.79) тем, что некоторые рекуррентные последовательности  последнего являются комплексными.

Пример 3. Рассмотрим процесс дискретизации непрерывного формирующего фильтра, у которого передаточная функция

имеет два комплексно-сопряженных корня:

,

где

.

Импульсная переходная характеристика фильтра имеет вид

где

,

Алгоритм для формирования значений случайного процесса  на выходе фильтра в соответствии с (2.79) сводится к одной рекуррентной формуле:

,

где

;

 - координаты двумерного нормального случайного вектора с корреляционной матрицей [cм. (2.80)]

.

Интегралы в матрице  в данном случае берутся. Это всегда будет иметь место для случайных процессов с рациональным спектром. Вычислив значения корреляционных моментов и используя формулы (1.12), (1.14) для формирования двумерного случайного вектора, получим

,

где  - последовательности независимых нормальных случайных чисел с параметрами (0, 1).

Аналогичные соотношения получаются при дискретизации формирующих фильтров более высокого порядка.

Из рассмотренного примера следует, что подготовительная работа при данном методе моделирования сравнительно простая. Достоинствами получаемых алгоритмов, кроме их простоты, являются отсутствие методической погрешности при любом шаге дискретизации и возможность выразить параметры алгоритмов в конечном аналитическом виде через параметры передаточной функции формирующего фильтра любого порядка, лишь бы полюсы передаточной функции были простыми и точно известными.

При наличии кратных полюсов у передаточной функции формирующего фильтра также можно найти рекуррентные моделирующие алгоритмы для формирования стационарных нормальных случайных процессов, несколько изменив используемый выше метод дискретизации! Однако при этом получаются более громоздкие выражения и не столь эффективные алгоритмы. Этот случай мы рассматривать не будем.

Довольно просто можно получить рекуррентные алгоритмы моделирования стационарных нормальных случайных процессов с рациональным спектром, если использовать приближенные методы дискретизации формирующих фильтров. Эти методы дискретизации рассмотрены в третьей главе. Они разработаны для линейных систем любого порядка и для случаев, когда полюсы передаточной функции известны, но не обязательно простые, и когда полюсы неизвестны.