6. Аналитические оценки влияния шума на характеристики автодальномера

При определенных допущениях влияние шума на характеристики дискриминатора автодальномера с АРУ и логарифмическим приемником можно оценить аналитически. Приведем аналитические оценки, которые позволят в дальнейшем проконтролировать, а в некоторых случаях дополнить результаты исследования характеристик автодальномера методом моделирования.

Возьмем наиболее распространенный случай, когда селектирующие импульсы дискриминатора имеют одинаковую длительность, равную длительности импульса . и расположены вплотную . Положим также, что дискриминатор строго симметричен, т. е. коэффициенты  и  в формуле (4.30) удовлетворяют условию .

Обозначим операцию дискриминирования, определяемую формулой (4.30), следующим образам:

.                (4.51)

В соответствии с определениями, данными в п. 2, дискриминационные и флюктуационные характеристики дискриминатора — это зависимости среднего значения  и дисперсии  [или среднеквадратического значения ] напряжения на выходе дискриминатора от рассогласования , т. е.

.                        (4.52)

Используя свойство линейности операции дискриминирования, выражения (4.52) можно записать

,                           (4.53)

где  - математическое ожидание случайного процесса  — центрированный случайный процесс .

Нормированные дискриминационные характеристики  и , а также зависимость  получаются, по определению, из ненормированных характеристик по следующим формулам:

Дискриминатор с АРУ

Система АРУ в нормальном режиме в соответствии с ее назначением поддерживает средний уровень напряжения  [см. (4.38)] постоянным, а медленные флюктуации этого напряжения сглаживает. Сглаживающие свойства АРУ определяются отношением времени корреляции флюктуации напряжения  к эквивалентной постоянной времени АРУ. При отсутствии помехи ширина спектра флюктуации  равна ширине спектра медленных амплитудных флюктуации сигнала . С увеличением интенсивности помехи ширина спектра флюктуации  увеличивается, в пределе (при ) в  раз, где  — частота повторения импульсов. Поскольку, как правило, , то АРУ не сглаживает быстрые флюктуации, вызванные помехой. В связи с этим рассмотрим следующий режим работы АРУ, а именно положим, что АРУ сглаживает параметрические флюктуации настолько, что ими можно пренебречь, но совсем не сглаживает быстрые флюктуации помехи. Такое предположение дает возможность довольно просто найти необходимые характеристики дискриминатора в двух крайних случаях: при отсутствии помех и при больших помехах, так как в обоих случаях коэффициент передачи приемника постоянен во времени и определяется выражением

,                        (4.54)

где  - некоторая константа (в дальнейшем положим );  — математическое ожидание усредненной по стробу огибающей на выходе ОФ, равное усредненному по стробу математическому ожиданию огибающей на выходе ОФ.

При более общих предположениях коэффициент передачи приемника с АРУ изменяется от периода к периоду и находится в сложной статистической зависимости от значения напряжения  в данном периоде и предыдущих периодах, что весьма затрудняет аналитическое исследование флюктуации на выходе дискриминатора.

Согласно (4.31) и (4.54) напряжение на выходе приемника равно

.                           (4.55)

При нормальном шуме и принятом законе флюктуации сигнала огибающая  смеси сигнала с шумом, как известно, распределена по релеевскому закону с параметрами

                    (4.56)

где .

Положим, не нарушая общности, . Тогда

.                   (4.57)

Подставляя  из (4.57) в (4.55) и учитывая соотношение (4.53), для  дискриминационной кривой получим следующее выражение:

,

где .

Отсюда при отсутствии помех

,                  (4.58)

а при больших помехах , поскольку  и , то

.                  (4.59)

При выводе формулы (4,58) учтено, что

,

если импульс не выходит за пределы строба.

Задаваясь конкретными аппроксимациями сигнальной функции , можно по формулам (4.58) и (4.59) найти конкретные дискриминационные кривые. Однако можно сделать некоторые выводы, справедливые при любых формах сигнальной функции.

Действительно, из формул (4.58) и (4.59) видно, что дискриминационная кривая деформируется в результате воздействия помех: при переходе от  к  дискриминационная кривая изменяется так, как если бы вместо сигнальной функции  взять . Это, вообще говоря, приводит к некоторому сужению дискриминационной кривой, например при гауссовой форме кривой  сужение будет в  раз. Однако это сужение незначительно (при прямоугольной аппроксимации сигнальной функции сужения, очевидно, вообще не происходит).

Для нахождения крутизны дискриминатора при произвольной форме сигнальной функции воспользуемся следующим допущением. При  сигнальная функция  обычно полностью «вмещается» в интервал , так что можно считать  при .

Тогда

,                 (4.60)

где .

Нетрудно показать, что при выполнении условия (4.60) независимо от формы сигнальной функции крутизна дискриминационной кривой  равна удвоенной разности  т. е;

.

Используя это свойство, легко получим следующие выражения для крутизны дискриминатора, номинальной крутизны и зависимости :

Для вычисления  функцию  без существенной погрешности можно заменить эквивалентным по площади прямоугольником длительностью , тогда

.

Отсюда

.

В случае больших помех

.                                    (4.61)

Таким образом, при больших помехах крутизна дискриминатора с АРУ изменяется обратно пропорционально отношению шум/сигнал по мощности.

Рассмотрим флюктуационные характеристики дискриминатора с АРУ. Для нахождения их согласно (4.53) требуется вычислить дисперсию разности интегралов  и  от центрированного случайного процесса . Нестационарность этого процесса существенно затрудняет нахождение интенсивности флюктуации на выходе дискриминатора аналитическим путем. Однако в двух крайних случаях — при отсутствии помех и при больших помехах —  это нетрудно сделать.

При отсутствии помех ввиду того, что приняты идеальные сглаживающие свойства АРУ, флюктуации на выходе дискриминатора пренебрежимо малы.

При больших помехах влиянием сигнала на величину дисперсии флюктуации на выходе дискриминатора можно пренебречь, т. е. положить процесс  стационарным с параметрами, определяемыми формулами (4.56) при . Тогда, учитывая (4.55), найдем, что дисперсия процесса  равна

.

Дисперсия разности интегралов  и  в формуле (4.51) согласно [62] равна

,                                  (4.62)

где  и  коэффициенты усреднения флюктуации  при интегрировании их по интервалам длиной  и  соответственно;  — коэффициент корреляции интегралов  и . Значения  и  определяются произведением , где  — ширина спектра флюктуации . В оптимальном приемнике , тогда согласно [62] . Отсюда

                        (4.63)

и среднеквадратическое значение флюктуации на выходе дискриминатора, пересчитанных во флюктуации измеряемого параметра , равно

.     (4.64)

Таким образом, получили, что при действии мощного шума интенсивность флюктуации на выходе дискриминатора с АРУ стремится к постоянной величине, определяемой формулой (4.64).

Дискриминатор с логарифмическим приемником

Напряжение  в этом случае имеет вид

.

Для нахождения дискриминационных характеристик согласно выражению (4.53) требуется знать математическое ожидание напряжения , т. е.  величину

.

Поскольку при принятых допущениях  — релеевский случайный процесс с плотностью вероятностей

,              (4.65)

то можно записать

,                  (4.66)

где

.

Интеграл (4.66) не выражается в замкнутом виде в элементарных или ранее табулированных функциях. Величина этого интеграла, как показано в [64] путем вычисления на ЦВМ, лежит в пределах от  до  при , причем отношение значения интеграла к величине  тем ближе к единице, чем больше , и уже при  составляет 1,1. Случай  в решаемой задаче следует считать типовым, так как он соответствует такой интенсивности сигнала и шума, когда наиболее вероятные значения их амплитуды выходят за пределы линейного участка амплитудной характеристики логарифмического приемника и начинает сказываться действие логарифмической нормировки. Поэтому без существенной погрешности можно положить

.

Отсюда

,                     (4.67)

где

.                  (4.68)

Как и в дискриминаторе с АРУ, с увеличением уровня шума дискриминационная кривая здесь имеет тенденцию к сужению. Действительно, согласно (4.67) дискриминационная кривая изменяется от

,                        (4.69 а)

до

.                 (4.69 б)

Длительность функции  ((например, на уровне 0,5), очевидно, больше длительности функции . В результате размах линейного участка дискриминационной кривой при  будет больше, чем при . Изменение формы дискриминационной кривой тем меньше, чем круче фронты сигнальной функции. При прямоугольной аппроксимации сигнальной функции  деформации кривой вообще не происходит.

Крутизну дискриминатора, как и в случае приемника с АРУ, можно найти независимо от формы сигнальной функции по формуле

,                    (4.70)

если принять, что  при  при выполнении условия (4.60) по отношению к функции ]. Подставляя (4.68) в (4.70), получим

.                 (4.71)

Отсюда

,                                  (4.72)

.                            (4.73)

Видим, что при большом уровне шума крутизна дискриминатора с логарифмическим приемником так же, как крутизна дискриминатора с АРУ, изменяется обратно пропорционально отношению помеха/сигнал по мощности, причем коэффициент пропорциональности определяется относительным уровнем сигнала .

Заметим, что формулы (4.71) и (4.72) в отличие от случая дискриминатора с АРУ справедливы при любых отношениях помеха/сигнал, если выполняется условие (4.60).

Флюктуационные характеристики дискриминатора с логарифмическим УПЧ ввиду нестационарности процесса  не представляется возможным аналитически в полной мере исследовать. Проведем лишь оценку дисперсии флюктуации на выходе дискриминатора при большом уровне шума, когда можно пренебречь сигнальной составляющей флюктуации. Положив в формулах (4.65) и (4.66) , дисперсию напряжения  можно выразить в виде

.                      (4.74)

Разность интегралов (4.74) как функция параметра  вычислена в [64]. Согласно [64] при изменении  в пределах от 3 до 1000 величина  изменяется от  до , т. е. от 0,4 до 0,6. Практически в весьма широком диапазоне значений  можно положить . Зная , по аналогии с (4.62) — (4.64) найдем среднеквадратическое значение флюктуации на выходе дискриминатора с логарифмическим приемником при большом отношении шум/сигнал

.                   (4.75)

Итак, интенсивность флюктуации на выходе дискриминатора с логарифмическим приемником при большом уровне шума остается почти неизменной и определяется формулой (4.75).

В заключение заметим, что полученные аналитические оценки характеристик дискриминатора автодальномера кроме того что они используются в дальнейшем представляют также и самостоятельный интерес.