2. Оптимальные интерполирующие фильтры

Используя формулу (1.42), нетрудно найти оптимальную частотную характеристику интерполирующего фильтра, обеспечивающую минимальную ошибку интерполяции. Действительно, минимизация дисперсии ошибки  сводится, очевидно, к минимизации спектральной плотности ошибки  при всех . Обозначив ,  спектральную плотность можно представить в виде

.

Минимум величины  как функции от  имеет место при  и  (в этом легко убедиться, решая систему уравнений  относительно и ).

Таким образом, оптимальная частотная характеристика интерполирующего фильтра имеет вид

                          (1.45)

При этом согласно (1.42) и (1.45) минимальная ошибка интерполяции процесса равна

.                                    (1.46)

Частотная характеристика  — вещественная неотрицательная четная функция, так как таковыми являются функции  и  в выражении (1.45). Следовательно, оптимальная интерполирующая функция, равная

,

есть четная положительно определенная функция, т. е. она относится к классу корреляционных функций стационарных случайных процессов. Оптимальные интерполирующие фильтры с такой импульсной переходной характеристикой являются, очевидно, физически неосуществимыми и для точного восстановления процесса требуется бесконечная задержка его во времени так же, как и при восстановлении процесса в соответствии с теоремой Котельникова.

Известно [85], что , причем знак равенства имеет место только в том случае, когда спектр  строго ограничен некоторой частотой , а шаг дискретизации процесса удовлетворяет условиям теоремы Котельникова:  Отсюда, используя (1.46), приходим к выводу, что в общем случае не существует такого интерполирующего фильтра, который обеспечивает безошибочное восстановление стационарного случайного сигнала в принятой схеме восстановления и лишь сигналы с ограниченным частотой  спектром, у которых [85]

,

могут быть безошибочно восстановлены с помощью интерполирующего фильтра с частотной характеристикой

т. е. с помощью идеального фильтра нижних частот в соответствии с теоремой Котельникова.

Реальные сигналы не могут иметь строго ограниченного спектра [82], поэтому восстановление их по дискретным данным всегда будет сопровождаться некоторой ненулевой погрешностью.