9. Сравнительная характеристика методов дискретной аппроксимации

Приведенные методы не охватывают всех известных к настоящему времени методов. Сюда не вошли методы, которые можно использовать только при типовых воздействиях на входе системы, такие, как метод Красовского — Поспелова [44], требующий, чтобы изображение по Лапласу входного сигнала было дробно-рациональной функцией; метод Андерсона — Болла — Восса [93], в котором входной сигнал аппроксимируется полиномом; метод оптимального цифрового моделирования Сейджа и Барта [108] и другие методы, нашедшие ограниченное применение.

Рассмотренные выше методы являются универсальными в том смысле, что они могут быть применены при произвольных входных сигналах и к любым линейным системам с постоянными сосредоточенными параметрами.

Независимо от метода дискретной аппроксимации (исключение составляет лишь метод автора при использовании формул численного интегрирования повышенной точности) рекуррентные алгоритмы при моделировании одной и той же системы получаются одинаковыми по сложности: порядок рекуррентного уравнения вида (3.24) совпадает с порядком моделируемой системы (см. п. 8). Различные методы дискретизации дают лишь различные значения коэффициентов  и  в формуле (3.24), при этом будет различной точность аппроксимации при выбранном шаге дискретизации.

Изложенные методы различаются еще и по объему подготовительной работы. Выбор того или иного метода дискретной аппроксимации в конкретной задаче должен производиться с учетом указанных соображений.

Подготовительная работа при всех методах дискретной аппроксимации упрощается и имеет практически одинаковый объем, если дискретизация осуществляется по принципу замены операторов непрерывного интегрирования операторами дискретного интегрирования, так как при этом не требуется отыскивать полюсы передаточной функции моделируемой системы. Методы Тастина, Мадведа — Траксела и Боксера — Талера могут быть использованы только таким образом.

Однако в этих случаях снижается точность аппроксимации. Действительно, при дискретной аппроксимации с использованием полюсов всей системы, погрешность выходного сигнала возникает только в результате неточной интерполяции входного сигнала импульсным элементом, включенным на входе системы (см. рис. 3.1). Дискретная аппроксимация по принципу замены операторов непрерывного интегрирования операторами дискретного интегрирования означает, по существу, замену непрерывной системы импульсной системой с многими импульсными элементами, по одному на каждое интегрирующее звено, подвергаемое дискретизации [49, 63]. Такое многократное прерывание и сглаживание входного сигнала при прохождении его через систему увеличивает погрешность выходного сигнала.

Для увеличения точности следует стремиться применять методы дискретной аппроксимации, позволяющие использовать информацию о полюсах передаточной функции (методы дискретной аппроксимации повышенной точности). К ним относятся методы, описанные в пп. 1—4 этого параграфа. Если передаточная функция имеет высокий порядок и нахождение ее полюсов связано с большими трудностями, то методы повышенной точности следует применять к отдельным звеньям системы, полюсы которых известны или легко находятся. Подготовительная работа при этом усложняется незначительно, ибо она, как уже отмечалось, сводится к расчету по готовым формулам.

В тех случаях, когда полюсы найти не удается и в качестве элементарных звеньев системы приходится использовать интегрирующие звенья, методы дискретной аппроксимации повышенной точности теряют свои заметные преимущества в точности; однако возможность применения их не исключается (табл. 3.2). В этом смысле методы повышенной точности являются универсальными и более перспективными.

При прочих равных условиях наибольшей точностью среди, описанных методов дискретной аппроксимации обладают, по-видимому, метод Рагаззини — Бергена и метод, предложенный автором, в случае, когда интеграл  вычисляется способом Симпсона [формула (3.58)], так как первый основан на линейной интерполяции, а второй — на квадратичной интерполяции функций по дискретным точкам. Эти виды интерполяции обладают большей точностью, чем ступенчатая интерполяция (метод Цыпкина — Гольденберга) и интерполяция с помощью  - функций (метод  - преобразования), и могут быть рекомендованы как наиболее перспективные. Метод Цыпкина — Гольденберга несколько уступает им по точности. Наименьшей точностью при аппроксимации интегрирующих звеньев порядка выше 1-го обладает метод Тастина, так как он соответствует повторному применению формулы трапеций. Для увеличения точности дискретной аппроксимации непрерывных передаточных функций в принципе возможно применение интерполирующих функций более высокого порядка, чем линейная и квадратичная [49, 63]. Однако при этом заметно усложняются алгоритмы. Поэтому приемы дальнейшего увеличения точности дискретной аппроксимации часто не оправдывают себя. Практически бывает выгоднее несколько уменьшить шаг дискретизации, чем применять алгоритмы, основанные на высших интерполяционных формулах.

Заметим, что приведенная здесь сравнительная характеристика методов дискретной аппроксимации основана на качественной оценке их точности. Задача количественной оценки погрешности различных методов дискретной аппроксимации является довольно сложной. Методы решения этой задачи излагаются в § 3.7.