2. Релеевский случайный процесс
Одномерная
функция плотности, среднее значение и дисперсия процесса этого типа
определяются соотношениями:
(2.93)
где 
- параметр распределения.
В
задачах статистической радиотехники релеевский случайный процесс появляется обычно
при рассмотрении огибающей стационарного узкополосного нормального шума [50,
80]. В связи с этим релеевский процесс 
выражается через два одинаковых
независимых стационарных нормальных случайных процесса 
и 
с параметрами 
(квадратурные составляющие
узкополосного нормального шума с симметричным энергетическим спектром) в виде
. (2.94)
При
этом корреляционная функция 
релеевского случайного процесса (имеется
в виду корреляционная функция нецентрированного релеевского процесса, такая,
что 
)
связана с нормированной корреляционной функцией 
процессов и зависимостью (см., например, [80]):
, (2.95)
где 
— нормированная корреляционная
функция центрированного релеевского процесса.
В
задачах, не требующих высокой точности решения, ряд (2.95) ввиду быстрой его
сходимости можно ограничить лишь первыми двумя членами и считать, что совпадает с 
, т. е.
.
Отсюда
. (2.96)
Это
открывает следующий простой путь приближенного моделирования релеевского
случайного процесса с корреляционной функцией и одномерной плотностью вероятностей
(2.93): на ЦВМ одним из изложенных ранее способов формируются .дискретные
реализации двух независимых стационарных случайных процессов и с параметрами (0, 1) и с
коэффициентом корреляции , определяемым соотношением (2.96), а из
них по формуле
формируются
реализации релеевского случайного процесса.
Погрешность
метода при этом будет незначительной. Для оценки погрешности найдем разность
между заданным коэффициентом корреляции и получаемым . Зависимость 
, определяемую рядом
(2.95), удается выразить в замкнутом виде следующим образом:
,
где 
и 
- полные эллиптические интегралы
первого и второго рода [92].
Отсюда
.
В
результате упрощений, сделанных при выводе формулы (2.96), заданный коэффициент
корреляции 
приближенно
заменяется величиной 
,
что приводит к ошибке
.
Используя
таблицы полных эллиптических интегралов [92], можно найти зависимость ошибки 
как функцию 
. На рис. 2.7 показан
график ошибки 
,
из которого видно, что максимальная погрешность формирования коэффициента
корреляции составляет 2,5%. Такая ошибка во многих практических задачах
является ;вполне допустимой.
Заметим,
что описываемый способ моделирования пригоден лишь для случаев, когда заданный
коэффициент корреляции не принимает отрицательных значений,
иначе в формуле (2.96) появятся мнимые величины.
Рис.
2.7
Пример
1.
Пусть
для моделирования задан релеевский случайный процесс, корреляционную функцию
которого можно аппроксимировать экспонентой:
. (2.97)
Подставляя
(2.97) в формулу (2.96), найдем нормированную корреляционную функцию исходных
нормальных случайных процессов
.
Используя
готовый алгоритм для моделирования нормального случайного процесса с
экспоненциальной корреляционной функцией (табл. 2.2), получим следующий
алгоритм для моделирования данного релеевокого случайного процесса:
, (2.98)
где 
- последовательности
независимых нормальных случайных чисел с параметрами (0,1).
