3. Моделирование узкополосных линейных систем с помощью комплексных рекуррентных разностных уравнений

Оказывается, что алгоритмы вида (3.98) при определенных условиях можно заменить более экономичными рекуррентными алгоритмами [17], т. е. разностные методы, описанные в § 3.3, допускают обобщение на случай цифрового моделирования комплексных линейных фильтров, к которым по методу огибающих сводятся узкополосные линейные системы.

Такое обобщение возможно, если передаточная функция комплексного фильтра является дробно-рациональной функцией вида

,

где  - в общем случае комплексные коэффициенты.

Последнее имеет место в целом ряде практически важных случаев. Действительно, передаточная функция  есть не что иное, как укороченная передаточная функция узкополосной системы, которая является операторной записью укороченного дифференциального уравнения, связывающего комплексные огибающие  и  и приближенно заменяющего полное дифференциальное уравнение узкополосной системы [31]. Укороченную передаточную функцию узкополосной системы можно получить [31], зная комплексный коэффициент передачи системы , записанный как функция сравнительно небольших расстроек , где  — частота входного гармонического сигнала,  — средняя (резонансная) частота системы, путем простой замены аргумента  на , т.е.

Так например, комплексный коэффициент передачи усилителя промежуточной частоты (УПЧ) с одиночными настроенными в резонанс контурами равен [27]

,                  (3.100)

где  — число каскадов;  — коэффициент усиления на резонансной частоте;  — полоса пропускания одного контура на уровне 0,7.

Комплексные коэффициенты передачи УПЧ с попарно расстроенными контурами и УПЧ с двухконтурными полосовыми фильтрами имеют одинаковый вид

,                (3.101)

где  - коэффициент, определяющий усиление УПЧ на резонансной частоте;  — полоса пропускания одного контура на уровне 0,7;  — число пар расстроенных каскадов в первом случае и число каскадов во втором случае;  — расстройка контуров в первом случае,  — во втором случае ( — фактор связи, равный произведению коэффициента связи между контурами на добротность).

Передаточные функции , соответствующие формулам (3.100), (3.101), имеют вид

.

Таким образом, получили, что передаточные функции комплексных фильтров в данных примерах являются дробно-рациональными. Это имеет место и в других случаях.

Для получения рекуррентных уравнений, моделирующих процессы комплексной фильтрации, нужно, как и в случае вещественной фильтрации, перейти от непрерывных дробно-рациональных передаточных функций комплексных фильтров к эквивалентным дискретным передаточным функциям. Для этой цели полностью пригодны все методы дискретной аппроксимации, описанные в § 3.3. Применяя их, придем к дробно-рациональным дискретным укороченным передаточным функциям и рекуррентным уравнениям вида

,                                      (3.102)

                 (3.103)

Здесь в отличие от (3.23) и (3.24) коэффициенты  и последовательности  являются, вообще говоря, комплексными.

Структурная схема дискретного комплексного фильтра с передаточной функцией (3.102) будет такой же, как схема, показанная на рис. 2.2, если в последней заменить вещественные дискретные сигналы  и  на комплексные сигналы  и , а коэффициенты усиления  и  — на коэффициенты  и .

Пример 1. Пусть в качестве узкополосной системы задан однокаскадный УПЧ с двухконтурным полосовым фильтром при оптимальной связи между контурами (). В этом случае, как известно [27], получается предельная одногорбая частотная характеристика. Согласно (3.101) укороченная передаточная функция такого УПЧ имеет вид

.

Выберем для простоты величину  так, чтобы коэффициент усиления УПЧ на резонансной частоте равнялся единице , тогда

.

Пусть на входе УПЧ действует некоторый непрерывный узкополосный сигнал

,

где  и  - законы амплитудной и фазовой модуляции сигнала соответственно;  — несущая частота, совпадающая с резонансной частотой УПЧ [расстройка частоты согласно (3.82) включена в ].

Реакцию УПЧ на сигнал  обозначим как

,

где  и  - законы амплитудной и фазовой модуляций выходного сигнала (фаза выходного сигнала рассматривается здесь относительно фазы немодулированной несущей вида ).

Для получения рекуррентного моделирующего алгоритма воспользуемся, например, методом Цыпкина — Гольденберга (см. § 3.3).

Передаточная функция  имеет два простых сопряженных полюса

.

Следовательно,

.

Для нахождения дискретной передаточной функции , аппроксимирующей передаточную функцию , в данном случае целесообразно использовать формулу (3.43), согласно которой

,

где

Учитывая, что  и то, что величины  и  комплексно-сопряженные, запишем

.

После элементарных преобразований окончательно получим

,

где

Идентифицируя передаточную функцию , найдем следующее рекуррентное уравнение, связывающее последовательность значений  комплексной амплитуды сигнала на выходе УПЧ с последовательностью значений  комплексной амплитуды входного сигнала

               (3.104)

В данном случае коэффициенты  — вещественные числа.

Уравнение (3.104) является простым алгоритмом, моделирующим процесс преобразования колебания с произвольными законами амплитудной и фазовой модуляции при прохождении его через УПЧ со связанными контурами. Формула (3.104) в отличие от формулы дискретного свертывания (3.89), которую также можно было бы применить в данном случае, при любом шаге  требует одинакового количества операций для вычисления одной дискреты комплексной амплитуды выходного сигнала. При дискретной свертке количество операций на одну дискрету растет пропорционально величине отношения постоянной времени моделируемой системы к шагу дискретизации. В случаях, когда это отношение составляет десятки и сотни, формулы дискретного свертывания потребовали бы на 1—2 порядка операций больше, чем это требует рекуррентная формула (3.89).