2. Цифровая модель приемника

Сущность метода Монте-Карло, как известно [10], состоит в построении с помощью средств вычислительной техники случайного процесса с параметрами, равными искомым величинам решаемой задачи, и в вычислении статистических характеристик этого процесса, приближенно равных искомым параметрам.

В рассматриваемой задаче интересующий нас случайный процесс представляет собой флюктуации на выходе приемника, находящегося под воздействием колебаний с шумовой модуляцией. Для формирования этих флюктуации на ЦВМ построим цифровую модель приемника, используя методы моделирования, описанные в первых трех главах. Представим приемник в виде эквивалентной функциональной схемы (рис. 4.1, б), заменив радиофильтр комплексным фильтром (§ 3.4), а детектор — последовательным соединением блока выделения модуля и нелинейного безынерционного элемента с характеристикой нелинейности , где . Для получения цифровой модели приемника непрерывные фильтры заменим соответствующими дискретными фильтрами (рис. 4.1, в), а затем, начиная с выхода приемника, опишем каждый блок соответствующим дискретным алгоритмом функционирования, используя при этом обозначения, показанные на рис. 4.1. Поскольку видеофильтр является линейной системой с дробно-рациональной передаточной функцией второго порядка [формула  (4.5)], для моделирования его воспользуемся рекуррентным алгоритмом, что в данном случае будет наиболее экономичной дискретной аппроксимацией (см. § 3.3). Тогда дискретный процесс , изображающий непрерывный процесс  на выходе приемника в точках , где  — шаг дискретизации видеофильтра, выразится в виде

,                     (4.6)

где  — дискретные значения флюктуации на выходе детектора;  — постоянные коэффициенты, определяемые при заданной передаточной функции видеофильтра шагом дискретизации и методом дискретной аппроксимации.

Для получения конкретных значений коэффициентов  и  воспользуемся методом Рагаззини-Бергена (метод дискретной аппроксимации повышенной точности, основанный на линейной интерполяции входного сигнала). Согласно этому методу, учитывая, что передаточная функция видеофильтра имеет только один полюс  кратности , используя (3.45), (3.46), легко найдем

Далее, очевидно,

.

Комплексный фильтр, эквивалентный ОФ приемника, не является в данном случае системой с рациональной передаточной функцией. Поэтому алгоритм комплексной фильтрации запишем в виде комплексной свертки [формула (3.90)], основанной на применении к интегралу Дюамеля дли огибающих методов численного интегрирования (§ 3.4, п. 2). Тогда

,                    (4.7)

где

;

 — коэффициенты, определяемые методом численного интегрирования;  — дискретные значения импульсной переходной характеристики комплексного фильтра; ;  — длительность импульсной переходной характеристики комплексного фильтра.

В более общем случае, когда шаг дискретизации радиофильтра  не равен основному шагу дискретизации , а в  раз меньше его, алгоритм (4.7) записывается в виде

                        (4.8)

Здесь и в дальнейшем штрихом помечены дискретные функции, порождаемые непрерывными при шаге дискретизации .

Положим, что дискретная аппроксимация ОФ производится с использованием формулы прямоугольников, тогда . Конкретные численные значения комплексной весовой функции  найдем из выражений (4.3) и (4.4) для комплексной огибающей  импульсной переходной характеристики ОФ:

Окончательно весовые множители  в формуле (4.8) равны

,                            (4.9)

                (4.10)

Дискретная комплексная огибающая входного колебания в соответствии с выражением (4.2) запишется в виде

,                        (4.11)

где  и  — дискретные случайные процессы, порождаемые непрерывными случайными процессами  и .

Для формирования на ЦВМ дискретных реализаций случайного процесса  воспользуемся готовым  алгоритмом (№ 1) из табл. 2.2:

,                    (4.12)

где ;  — последовательность независимых нормальных случайных чисел с параметрами (0, 1).

Случайный процесс  является здесь нормальным нестационарным процессом со стационарными приращениями. Производная этого процесса равна  Алгоритм для формирования реализаций такого процесса был получен в примере 1 § 2.9 и имеет вид

,                (4.13)

где  коэффициенты  и  определяются формулами (2.131), (2.130), (2.126), (2.128) при .

Надо отметить, что, поскольку случайный процесс  является преобразованием от случайного процесса , то случайные числа  в алгоритмах (4.12) и (4.13) должны быть одними и теми же случайными числами.

Алгоритм (4.113) не имеет методической погрешности. Приближенный алгоритм формирования процесса  можно легко получить, заменив интеграл суммой. Тогда

                  (4.14)

На этом составление цифровой модели приемника, по существу, заканчивается. Получена последовательность отдельных алгоритмов [формулы (4.6) — (4.14)], позволяющих преобразовывать на ЦВМ дискретные реализации  модулирующего процесса  в дискретные реализации  флюктуаций  на выходе приемника. Алгоритму являются рекуррентными, отличаются простотой и легко реализуются на ЦВМ.

Основными параметрами рассматриваемой модели являются величины . От выбора их значений зависит результат решения задачи. Параметры  являются вспомогательными; они определяют погрешность дискретизации и масштаб процессов. Для решения задачи в общем виде удобнее пользоваться безразмерными и несколько отличными от указанных параметрами. Для получения таких параметров выразим шаг дискретизации  через частоту дискретизации  в виде , а частоту дискретизации свяжем с полосой пропускания  радиофильтра приемника, положив , где  — некоторый коэффициент, определяющий погрешность дискретизации. Тогда

                (4.15)

где  — отношение среднеквадратического значения девиации частоты входного воздействия к полуполосе пропускания радиофильгра;  — отношение ширины спектра модулирующего шума к полуполосе радиофильтра;  — индекс частотной модуляции входного колебания;  — относительная расстройка;  — отношение полосы пропускания видеофильтра (на уровне 0,5) к полосе пропускания радиофильтра.

Выберем теперь вполне определенный масштаб моделируемых процессов. Положим, не нарушая общности, амплитуду  и коэффициент передачи приемника  равными единице. Поскольку коэффициенты передачи детектора и видеофильтра уже выбраны единичными, для обеспечения  надо приравнять единице коэффициент передачи оптимального фильтра . Величина  определяется значениями коэффициентов  и  в формулах (4.3) и (4.4).

Для АМ приемника частотная характеристика как преобразование Фурье от импульсной переходной характеристики , если, пренебречь погрешностью отсечки гауссовой огибающей функции  (в данном случае на уровне 0,01), имеет вид

,

где

;

 — коэффициент передачи радиофильтра на резонансной частоте; — полуширина гауссовой амплитудно-частотной характеристики радиофильтра на уровне  (эта величина связана с длительностью импульсной переходной характеристики радиофильтра на уровне  соотношением ). Чтобы получить , нужно выбрать . При этом формула(4.9) для расчета весовых множителей  примет вид

                                   (4.16)

Амплитудно-частотная характеристика ОФ ЧМ приемника при , как известно [53], почти прямоугольная шириной . Для перехода от коэффициента  к среднему коэффициенту передачи ОФ в пределах полосы пропускания поступим следующим образом. Найдем площадь под кривой ,т.е. величину

,

где  — частотная характеристика ОФ ЧМ приемника.

Согласно равенству Парсеваля величину  можно представить в виде

где  и  огибающая и фаза импульсной переходной характеристики ОФ соответственно.

Поскольку предполагается, что  медленно изменяется по сравнению с , то интегралом от быстроосциллирующей функции во втором слагаемом последней формулы можно пренебречь. Тогда

                              (4.17)

Заменяя функцию  двумя эквивалентными по площади прямоугольниками шириной  (в области положительных и отрицательных частот), согласно (4.17) получим выражение для высоты этих прямоугольников, которая равна некоторому усредненному коэффициенту передачи ОФ, в виде

.

Отсюда для обеспечения  нужно выбрать  из условия

.

Тогда формула (4.10) для расчета комплексных весовых множителей  примет вид

.

Учитывая, что полоса пропускания радиофильтра АМ и ЧМ приемников равна соответственно  и , параметр  в формулах (4.9) и (4.10) можно выразить в виде

.

Теперь, после всех нормировок, окончательный алгоритм цифровой модели приемника можно записать в следующем формульном виде:

Параметры  остаются неизменными при решении конкретного варианта задачи и вычисляются перед началом реализации модели по формулам, приведенным в данном параграфе, параметр  определяется по формуле

.

При этом параметры  задаются как исходные данные.