2.12. Моделирование случайных потоков

Потоки событий, происходящих в случайные моменты времени , являются специфичным классом случайных процессов. Случайные потоки широко используются в качестве математических моделей в задачах, связанных с исследованием систем массового обслуживания [10, 39], в задачах приема импульсных сигналов [6, 73], в задачах надежности [89] и т. п.

Возможны различные эквивалентные способы задания случайных потоков [6, 39]. Наиболее удобным для моделирования способом задания потоков общего вида является задание их с помощью многомерной плотности вероятностей интервалов между моментами наступления событий

,                            (2.138)

где .

При таком задании случайных потоков моделирование их в общем случае сводится, очевидно, к формированию на ЦВМ реализаций случайных векторов  с законом распределения (2.138), для чего могут быть использованы методы, описанные в § 1.5, 1.6. Моменты наступления событий получаются при этом по простой рекуррентной формуле

.

Случайные потоки столь общего вида встречаются в приложениях весьма редко. Обычно рассматриваются так называемые потоки с ограниченным последействием [39], у которых интервалы  между событиями статистически независимы в совокупности, т. е.

.

Эти потоки задаются последовательностью одномерных законов распределения

Потоки с ограниченным последействием, у которых , называются рекуррентными (стационарными) потоками. Они задаются двумя законами распределения  и .

Потоки, у которых , определяются единственным законом распределения  и называются просто рекуррентными (стационарными) потоками [39]. К таким потокам относится, в частности, широко распространенный пуассоновский (простейший) поток, у которого закон распределения интервалов между событиями показательный

.                        (2.139)

Видим, что потоки с ограниченным последействием в соответствии с терминологией §1.1 являются непосредственно заданными случайными процессами, поэтому моделирование их является довольно простой задачей.

Действительно, для получения реализации последовательности моментов наступления событий , в этих случаях достаточно сформировать последовательность реализаций , случайных величин с заданными законами распределения  соответственно и вычислить моменты наступления событий по формуле . Моделирование рекуррентных потоков упрощается еще и тем, что случайные величины  (кроме, может быть, ) имеют одинаковый закон распределения. Для формирования на ЦВМ реализаций случайных величин с заданными законами распределения можно использовать методы, рассмотренные в § 1;4. В частности, при моделировании пуассоновского потока реализации случайных величин  с показательным законом распределения (2.139) можно получать с помощью алгоритма (см. § 1.4)

,

где  - независимые случайные числа, равномерно распределенные в интервале (0, 1).

Таковы методологические основы моделирования случайных потоков. Более подробные сведения о моделировании потоков и конкретные примеры моделирующих алгоритмов имеются, например, в [10].