2. Цифровые модели узкополосных линейных систем, основанные на дискретной комплексной свертке

Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда импульсная переходная характеристика системы имеет одностороннее или двустороннее ограничение. Подвергнув формулы (3.84), (3.85) дискретизации, используя при этом, как и ранее, методы численного интегрирования, получим следующие алгоритмы вычисления дискретных значений комплексной огибающей на выходе системы:

,                                   (3.89)

,                                   (3.90)

где  — шаг дискретизации;  — коэффициенты, зависящие от метода численного интегрирования;  — дискретные значения комплексной огибающей импульсной переходной характеристики системы;  — дискретные значения комплексной огибающей входного сигнала; .

Величина шага  в формулах (3.89), (3.90) определяется величиной верхней частоты в спектре модуляции высокочастотных колебаний, а не в спектре самих высокочастотных колебаний, как это было бы без привлечения метода огибающих. Это обычно дает возможность значительно увеличить шаг дискретизации и тем самым сократить вычислительные затраты.

Замена непрерывных сверток (3.84) и (3.85) дискретными свертками (3.89) и (3.90) соответственно означает замену непрерывных комплексных фильтров эквивалентными дискретными комплексными фильтрами с передаточными функциями

,                            (3.91)

.                           (3.92)

Отличие формул (3.91) и (3.92) от формул (3.14) и (3.15) состоит лишь в том, что коэффициенты перед  в формулах (3.91) и (3.92) являются, вообще говоря, комплексными.

Структурные схемы фильтров с передаточными функциями (3.15) и (3.92) одинаковы (см. рис. 2.1). Процесс дискретной комплексной фильтрации дискретного сигнала  фильтром с передаточной функцией (3.92) в соответствии с рис. 2.1 состоит в следующем. Последовательность комплексных чисел , порождаемая непрерывной комплексной огибающей входного сигнала, поступает на линию задержки с  отводами, задержка между которыми равна . Отводы линии задержки подключены к весовым усилителям с комплексными коэффициентами усиления . Выходы весовых усилителей суммируются, в результате чего образуется последовательность комплексных чисел , представляющая собой дискретные значения комплексной огибающей выходного сигнала. Такая схема вычислений может быть реализована в виде стандартной программы. Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются на ЦВМ по стандартной подпрограмме.

Вычисления в соответствии с алгоритмом (3.90) можно проводить и без привлечения операций над комплексными числами. Для этого нужно выразить дискретные комплексные огибающие через дискретные квадратурные компоненты в виде

               (3.93)

где  - дискретные значения квадратурных составляющих входного и выходного сигналов соответственно;  — дискретные квадратурные составляющие импульсной переходной характеристики.

Последнее означает замену дискретного комплексного фильтра двумерным вещественным дискретным фильтром с передаточной матрицей

,

где

.

Структурная схема этого двумерного дискретного фильтра показана на рис. 3.5. Она является эквивалентом схемы рис. 3.4 так же, как и формулы (3.93) являются дискретным эквивалентом формул (3.86).

Из (3.93) видно, что осуществление дискретной комплексной свертки при прочих равных условиях требует в общем случае в четыре раза больше операций, чем осуществление вещественной дискретной свертки. В частных случаях количество операций может быть меньшим. Так, если  (в этом случае узкополосная система имеет, как известно, линейную фазовую характеристику, то  и, следовательно,

                       (3.94)

При этом в двумерном дискретном фильтре на рис. 3.5 отсутствуют перекрестные связи. Операций здесь только вдвое больше по сравнению с вещественной сверткой.

Рис. 3.5

Столько же операций требуется, если входной сигнал промодулирован лишь по амплитуде и не имеет расстройки ():

                       (3.95)

В этом случае сигнал  на втором входе двумерного фильтра на рис. 3.5 равен нулю.

Если одновременно выполняются два указанных условия, то

.                             (3.96)

В этом случае свертка огибающих является вещественной, и двумерный фильтр превращается в одномерный.

В некоторых случаях для вычислений удобна тригонометрическая форма записи комплексной свертки (3.90) в виде

.             (3.97)

Если использовать метод дискретизации комплексной свертки, основанный на принципе замены непрерывного комплексного фильтра эквивалентным импульсным фильтром, то по аналогии с дискретизацией вещественной свертки (§ 3.2) получим алгоритмы вида (3.89) — (3.90) с той лишь разницей, что вместо весовой функции  будет использоваться весовая функция  — дискретная импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части комплексного фильтра. Тогда

,                            (3.98)

.                            (3.99)

Из формул (3.98), (3.99) можно легко получить алгоритмы, аналогичные алгоритмам (3 93) — (3.97), заменив в последних  и  на  и  соответственно.