2.6. Алгоритмы для цифрового моделирования стационарных нормальных случайных процессов с часто встречающимися типами корреляционных функций

Выше были описаны различные методы моделирования случайных процессов, где рассматривалась в основном принципиальная сторона вопроса. В данном параграфе приводятся результаты применения этих методов для моделирования стационарных нормальных процессов с распространенными типами корреляционных функций. При этом проделана вся необходимая подготовительная работа и получены простые моделирующие алгоритмы, пригодные для непосредственного использования. Кроме того, даны примеры практической реализации моделирующих алгоритмов.

В табл. 2.2 даны типы корреляционных функций и энергетических спектров моделируемых процессов и соответствующие им алгоритмы. Ниже даются необходимые пояснения.

Таблица 2.2.

Продолжение таблицы 2.2.

Продолжение таблицы 2.2.

Продолжение таблицы 2.2.

Заданный стационарный нормальный непрерывный случайный процесс  с корреляционной функцией  изображается на ЦВМ в виде дискретной последовательности его значений, относящихся ко времени , где  — шаг дискретизации,  — целочисленный аргумент. Все рассмотренные здесь алгоритмы предназначены для получения на ЦВМ дискретных, неограниченных во времени реализаций  моделируемого случайного процесса . Во все эти алгоритмы заложен принцип преобразования последовательности  независимых нормально распределенных случайных чисел с параметрами (0, 1) (дискретный белый шум) в  последовательность , коррелированную по закону

.

Случайные процессы с корреляционными функциями, помещенными в таблице под № 1-5, относятся к классу случайных процессов с рациональной спектральной плотностью. Для моделирования таких процессов наиболее удобным является применение разностных уравнений (§ 2.3), что приводит к алгоритмам, не имеющим методической погрешности и сводящимся к простым рекуррентным соотношениям. Алгоритмы № 1-5 получены этим способом.

Алгоритмы № 1 и 2 для моделирования процессов с экспоненциальной и экспоненциально-косинусной корреляционными функциями уже рассматривались в § 2.3 и пояснений не требуют.

Алгоритмы № 2-5 одинаковы и отличаются лишь значениями параметров , нахождение которых в каждом конкретном случае сводится к вычислениям по формулам, приведенным в табл. 2.2. При выводе выражений для вычисления параметров рекуррентных формул в алгоритмах № 3-5 использовались преобразования, рассмотренные в § 2.3 на примере экспоненциально-косинусной корреляционной функции: спектральная плотность  последовательности  для каждого типа корреляционной функции записывалась согласно (2.51), суммирование соответствующих бесконечных в обе стороны рядов осуществлялось по таблицам односторонних дискретных преобразований Лапласа [85], а факторизация числителей полученных дробно-рациональных спектральных функций производилось путем разложения полиномов  на множители (полиномы имели порядок не выше второго) с последующим использованием корней полиномов согласно выражениям (2.61) и (2.62). Знаменатели спектральных функций оказывались автоматически факторизованными.

Для моделирования случайных процессов № 6-8, которые не относятся к классу процессов с рациональной спектральной плотностью, был применен метод скользящего суммирования как наиболее эффективный в данном случае.

Согласно алгоритмам № 6-8 последовательность  получается методом скользящего суммирования последовательности  с весом . Выражения для весовых коэффициентов были получены путем интегрирования энергетических спектров процессов по формуле (2.12). При этом полагалось, что частота дискретизации для случайного процесса № 6 [процесс с равномерным в полосе  спектром] больше или равна и . Относительно процессов № 7, 8 предполагалось, что частота дискретизации достаточно велика, так что верхний предел в интеграле (2.12) можно принять равным бесконечности. Поэтому выражения для коэффициентов  в алгоритмах № 7, 8 следует применять при . Замена конечного предела бесконечным позволила в данном случае свести интегралы типа (2.12) к табличным [25].

Алгоритмы № 6-8 являются приближенными, однако при увеличении параметра  методическая погрешность может быть сделана пренебрежимо малой. При выбранных значениях  и  погрешность метода легко оценивается путем свертки весовых коэффициентов. Пример вычисления коэффициентов  и расчета погрешности метода для случайного процесса с корреляционной функцией № 8 был приведен ранее в § 2.2. В этом же параграфе дано описание алгоритма для моделирования случайного процесса № 9 [см. алгоритм (2.48)].

Алгоритмы, приведенные в табл. 2.2, были подвергнуты практической проверке. Проверка производилась путем выработки на ЦВМ реализаций моделируемых случайных процессов длиной в 1000 дискрет при  и при заданных значениях параметров  и . По этим реализациям вычислялись выборочные корреляционные функции, которые сравнивались с заданными корреляционными функциями. Исходные независимые случайные числа  вырабатывались по стандартной программе датчика нормальных случайных чисел для ЦВМ М-20.

При выработке начальных значений  реализаций случайных процессов № 1—5 в качестве  брались выборочные значения независимых нормальных случайных чисел с параметрами (0, 1).

На рис. 2.5 показаны начальные участки реализаций длиной в 400 дискрет некоторых случайных процессов из табл. 2.2; для удобства реализации изображены непрерывной линией. Рядом с реализациями изображены заданные корреляционные функции (сплошная линия) вместе с корреляционными функциями, вычисленными на ЦВМ по этим реализациям (пунктир). Графики помечены теми же номерами, что и корреляционные функции в табл. 2.2. Значения параметров  и . выбраны так, чтобы интервалы корреляции у всех моделируемых процессов были примерно одинаковыми. Из рисунка видно хорошее совпадение заданных и выборочных корреляционных функций.

Рис. 2.5

Случайный процесс с корреляционной функцией № 2 недифференцируемый, поэтому его реализации имеют не такой гладкий характер, как остальные четыре реализации дифференцируемых случайных процессов.

Между реализациями № 2 и 3, а также между реализациями № 6, 7 можно заметить определенное сходство, которое объясняется тем, что реализации формировались на ЦВМ путем преобразования одной и той же дискретной реализации белого шума.

В начале реализаций № 2, 3 видны довольно большие отрицательные выбросы. Эти выбросы являются результатом искажения начальных участков моделируемых процессов из-за переходного процесса. Действительно, начальные условия выбраны так, что только случайные процессы № 1 и № 5-9 являются с самого начала стационарными.

Для того чтобы избавиться от переходного процесса при моделировании случайных процессов № 2-4, нужно при вычислении их начальных значений  в качестве  вместо независимых случайных чисел, как это было принято выше, взять четырехмерный случайный вектор  с корреляционной матрицей

Элементы этой матрицы легко находятся, если в соотношении  выразить  и  в соответствии с рекуррентными алгоритмами № 2—5 и учесть, что  — последовательность некоррелированных случайных величин, а  — последовательность случайных величин с заданной корреляционной функцией .

Рассмотренный прием нетрудно распространить на рекуррентные алгоритмы более высокого порядка.

В заключение укажем на некоторые приемы, позволяющие расширить класс моделируемых стационарных нормальных случайных процессов путем несложных преобразований рассмотренных выше алгоритмов.

Известно, например, что при суммировании нескольких независимых стационарных нормальных случайных процессов образуется стационарный нормальный случайный процесс, корреляционная функция которого равна сумме корреляционных функций слагаемых. Отсюда, если корреляционная функция процесса является суммой двух или более корреляционных функций из табл. 2.2, то дискретные реализации этого процесса можно формировать путем суммирования двух или более независимых реализаций, получаемых по приведенным алгоритмам. Если, например, корреляционная функция моделируемого процесса имеет вид

,

то алгоритм для формирования его дискретных реализаций запишется в виде

,                              (2.81)

где

 - независимые между собой последовательности независимых нормальных случайных чисел с параметрами (0, 1).

Параметры алгоритмов (2.81) находятся по формулам, приведенным в табл. 2.2 для алгоритма № 2, при .

Рассмотрим еще один прием преобразования. Из теории случайных процессов (см., например, [78]) известна следующая теорема. Если  и  — два одинаковых стационарных нормальных центрированных и независимых случайных процесса с корреляционными функциями , то случайный процесс

                        (2.82)

будет также стационарным нормальным центрированным случайным процессом, но с корреляционной функцией

.                                       (2.83)

Этот факт позволяет легко моделировать нормальные случайные процессы с корреляционной функцией вида (2.83), если известен алгоритм для моделирования нормального случайного процесса с корреляционной функцией . Для этого в соответствии с формулой (2.82) нужно выработать дискретные реализации  и  независимых случайных процессов с корреляционной функцией  (например, с помощью алгоритмов, приведенных в табл. 2.2), затем по правилу

,                      (2.84)

где , преобразовать реализации  и  в реализацию  случайного процесса с корреляционной функцией (2.83).

Для вычисления дискретных тригонометрических функций  и  целесообразно воспользоваться рекуррентным алгоритмом (1.3), тогда алгоритм (2.84) запишется в виде

.