2.7. Моделирование не нормальных стационарных случайных процессов

Ненормальный случайный процесс задается обычно своим многомерным распределением или конструктивно в виде некоторого преобразования от случайных параметров и детерминированных функций. В последнем случае вероятностный процесс согласно классификации, данной в § 1.1, является параметрически заданным, и моделирование его сводится к формированию реализаций случайных параметров с последующим их преобразованием.

Задача моделирования усложняется, если ненормальный процесс задан многомерным законом распределения. При небольшом числе дискретных точек эту задачу можно решить как задачу формирования реализаций случайного вектора по заданному многомерному распределению (см. § 1.5), применяя классический универсальный способ, основанный на использовании условных плотностей вероятностей, или многомерный метод Неймана. Однако при формировании реализаций большой длины практическое значение этих способов существенно ограничено.

В этом и следующем параграфах рассматривается более узкая задача моделирования ненормальных стационарных случайных процессов, а именно моделирование процессов по их одновременно заданным корреляционным функциям и одномерным законам распределения. Эта задача сравнительно просто решается путем специально подобранных нелинейных преобразований соответствующих нормальных стационарных случайных процессов.

В общем случае для получения случайного процесса с заданным одномерным законом распределения и заданной корреляционной функцией можно использовать следующий способ [52].

Пусть в качестве исходного выбран нормальный стационарный случайный процесс . Как известно, всегда существует такое нелинейное безинерционное преобразование, , которое превращает нормальную функцию плотности  процесса  в заданную функцию плотности . Если исходный процесс  имеет корреляционную функцию , то преобразованный процесс  будет иметь корреляционную функцию , отличающуюся от функции  и связанную с ней некоторой зависимостью

.

Вид этой зависимости определяется преобразованием . Для того чтобы корреляционная функция преобразованного процесса была требуемой, нужно выбрать корреляционную функцию исходного процесса равной

,

где  — функция, обратная функции .

Таким образом, при использовании этого способа подготовительная работа состоит из следующих этапов: 1) нахождение по заданной функции плотности  преобразования , 2) получение па найденной функции  зависимости , 3) решение уравнения  относительно , т. е. определение корреляционной функции  исходного нормального случайного процесса , 4) отыскание алгоритма для моделирования нормального процесса  с корреляционной функцией . После того как подготовительная работа закончена, моделирование случайного процесса с требуемыми характеристиками сводится к формированию дискретных реализаций  нормального случайного процесса  и преобразованию этих реализаций по формуле

.

Для простоты выберем преобразование  монотонным и положим, что моделируемый и исходный процессы имеют параметры (0, 1), так что .

1. Функция  должна удовлетворять очевидному равенству

,                            (2.85)

где  и  — интегральные законы распределения случайных процессов  и  соответственно;  — интеграл вероятностей (функция Лапласа).

Уравнению (2.85) соответствует нелинейное дифференциальное уравнение, связывающее функции  и :

.                                   (2.86)

Уравнения (2.85) и (2.86) в редких случаях удается решить аналитически. Для получения преобразования  можно использовать численное решение уравнения (2.85) на ЦВМ. Для этого нормальную функцию плотности с параметрами (0, 1) следует заменить усеченной функцией, ограничив интервал возможных значений аргумента  в (2.85) некоторыми пределами , вероятность выхода за которые пренебрежимо мала, например взяв . Задавшись дискретными значениями  аргумента  из интервала , для получения таблицы значений  искомой функции нужно для каждого  подобрать такой , чтобы

.

Последнее можно сделать методом итераций.

2. При известном преобразовании  зависимость  в соответствии с определением корреляционной функции как математического ожидания произведения  имеет вид

              (2.87)

где  — двумерная нормальная функция плотности вероятностей значений  и  исходного случайного процесса в сечениях, отстоящих друг от друга на величину , такую, что коэффициент корреляции между  и  равен .

Выражение (2.87) неудобно для дальнейшего использования, так как интеграл в нем часто не удается вычислить в конечном виде, к тому же функция  чаще всего будет задана в виде таблицы значений, получаемых на первом этапе. Более приемлемой формой задания функции  является представление ее в виде ряда по степеням . Этот ряд нетрудно получить, если разложить двумерную функцию  в ряд по ортогональным полиномам Эрмита. Искомое разложение функции  имеет вид [50]

,                             (2.88)

где

;               (2.89)

 — полиномы Эрмита.

Для нахождения полиномов  существует рекуррентная формула

,

причем первые три полинома таковы:

.

Поскольку предполагается, что моделируемый процесс  имеет параметры (0, 1), то в ряде (2.88)  и

,

Для нахождения зависимости  в общем случае нужно путем численного интегрирования выражения (2.89) на ЦВМ с использованием таблицы значений  найти коэффициенты . При этом бесконечный ряд (2.88) приближенно заменяется конечным. В качестве номера , на котором следует остановить процесс вычисления коэффициентов , можно взять то значение , когда впервые выполнится неравенство

,

где  — достаточно малая величина, например .

3. При известных коэффициентах  для получения коэффициента корреляции  исходного нормального случайного процесса нужно решить уравнение

относительно . Численное решение этого уравнения с целью нахождения таблицы значений функции  можно осуществить на ЦВМ методом итераций. По найденной зависимости  легко определяется корреляционная функция исходного процесса:

.

Функция  ввиду численного решения уравнений для ее получения будет таблично заданной.

4. Для нахождения алгоритма, позволяющего формировать на ЦВМ дискретные реализации стационарного нормального процесса с корреляционной функцией , таблично заданную функцию  нужно аппроксимировать функцией вида (2.50), чтобы получить потом рекуррентный моделирующий алгоритм, или решить нелинейную систему типа (2.9) для моделирования исходного процесса путем скользящего суммирования. Можно использовать также алгоритм скользящего суммирования с весовой функцией, полученной путем разложения в ряд Фурье квадратного корня из спектральной функции исходного процесса , но для этого требуется найти преобразование Фурье от таблично заданной корреляционной функции .

Для проведения подготовительной работы в данном случае можно составить стандартную программу. Алгоритм этой программы следует из приведенных выше соотношений. Затруднение принципиального характера состоит в том, что в общем случае не представляется возможным доказать существование решения уравнения (2.88) относительно . В тех случаях, когда заданная корреляционная функция неотрицательна, решение уравнения (2.88) как легко видеть, всегда существует.

Ввиду того что подготовительная работа при данном способе моделирования ненормальных стационарных случайных процессов, вообще говоря, довольно трудоемкая, моделирование процессов с распространенными типами одномерных законов распределения целесообразно рассмотреть специально. Подготовительную работу для моделирования этих процессов, как показано в следующем параграфе, можно существенно упростить, если в конкретных случаях использовать особенности функции  и применять несколько отличные от описанных нелинейные преобразования исходных нормальных случайных процессов, в частности одновременное нелинейное преобразование двух нормальных случайных процессов.