3. Получение весовых коэффициентов методом факторизации

В рассматриваемых выше методах синтеза формирующих дискретных фильтров для моделирования случайных процессов путем скользящего суммирования не использовались специальные свойства корреляционных функций моделируемых случайных процессов.

На практике значительный интерес представляют стационарные случайные процессы, у которых корреляционные функции таковы, что преобразования Фурье от них являются рациональными функциями, т. е.

,                           (2.33)

где  и  — полиномы степени  и  соответственно. Это свойство позволяет синтезировать формирующие фильтры для моделирования случайных процессов данного класса другим по сравнению с описанными выше способом, основанным на следующих фактах.

Случайные процессы с рациональной спектральной плотностью (2.33) наблюдаются, как известно, на выходе линейных систем с постоянными сосредоточенными параметрами при воздействии на входе белого шума. Передаточная функция  таких систем является дробно-рациональной функцией вида

,                             (2.34)

где  и  — полиномы по  степени  и  соответственно. При воздействии белого шума с единичной спектральной плотностью на систему с передаточной функцией (2.34) на выходе системы будет случайный процесс с энергетическим спектром

.                         (2.35)

Произведя в (2.35) умножение, получим (2.33).

При моделировании случайных процессов с рациональным спектром фильтр с передаточной функцией (2.34) целесообразно взять в качестве формирующего, но для этого нужно, зная дробно-рациональную спектральную функцию (2.33), найти передаточную функцию (2.34) формирующего фильтра. Последнее можно сделать путем факторизации спектральной функции , т. е. разложения ее на множители вида

                                    (2.36)

Множитель  в формуле (2.36) и будет передаточной функцией  формирующего фильтра [см. (2.33) и (2.35)].

Порядок проведения факторизации следует из теоремы о разложении неотрицательных дробно-рациональных функций на множители [30, 70]: всякая неотрицательная дробно-рациональная относительно  функция

                              (2.37)

может быть представлена в виде

,

где  и  — некоторые константы;  и  — те из корней  и  в первоначальном представлении дробно-рациональной функции (2.37), которые лежат в верхней полуплоскости.

Согласно этой теореме для нахождения передаточной функции непрерывного формирующего фильтра методом факторизации нужно найти корни  и  числителя  и знаменателя  соответственно заданной дробно-рациональной спектральной функции (2.33); выбрать из них корни  и , лежащие в верхней полуплоскости (корни с положительной мнимой частью), и записать искомую передаточную функцию в виде

              (2.38)

 При этом множитель  должен выбираться из условия

.

После того как найдена передаточная функция непрерывного фильтра, нетрудно получить весовые коэффициенты в формуле скользящего суммирования. В самом деле, импульсная переходная характеристика формирующего фильтра согласно известной теореме разложения [41] имеет вид

,                                (2.39)

где  — полюсы передаточной функции (2.38) (корни знаменателя) кратности  каждый ;

.                       (2.40)

Пусть на входе фильтра с импульсной переходной характеристикой (2.39) воздействует непрерывный белый шум с единичной спектральной плотностью, т. е. с корреляционной функцией

.                   (2.41)

Тогда случайный процесс  на выходе фильтра будет иметь заданный энергетический спектр . Для получения алгоритма формирования дискретных реализаций этого процесса запишем процесс фильтрации белого шума в виде интеграла Дюамеля

.                           (2.42)

Шум  с корреляционной функцией (2.411) имеет бесконечную дисперсию. Это создает неудобства при дискретизации уравнения (2.42). Для упрощения, так же как это было сделано в п. 2 данного параграфа, заменим белый шум  с неограниченным спектром белым нормальным шумом  с ограниченным частотой  спектром и выберем частоту  так, чтобы в полосе  находилась подавляющая часть мощности процесса . Тогда процесс  с достаточной точностью можно представить в виде

,                              (2.43)

где нормальный шум  имеет конечную дисперсию, равную  (площадь прямоугольника с основанием  и единичной высотой, поделенная на ), и некоррелированные в точках  — значения. Заменяя теперь интеграл (2.43) суммой с шагом  получим алгоритм формирования дискретных реализаций процесса  в виде

,                      (2.44)

где  — дискретные значения импульсной переходной характеристики формирующего фильтра; ;  — независимые нормальные случайные числа с параметрами .

Алгоритм (2.44) является алгоритмом скользящего суммирования с весовой функцией, равной (с точностью до множителя) дискретным значениям импульсной переходной характеристики  формирующего фильтра, определяемой формулой (2.39). При использовании алгоритма (2.44) бесконечная сумма практически заменяется конечной.

Пример 2. Найдем весовую функцию для моделирования случайного процесса с корреляционной функцией и энергетическим спектром вида

                (2.45)

Корни знаменателя спектральной функции  равны .

Передаточная функция формирующего фильтра согласно (2.38) имеет вид

.

Из условия  следует . По формулам (2.39) и (2.40) при  найдем импульсную переходную характеристику формирующего фильтра

.

Отсюда в соответствии с (2.44) окончательно получим

.

В рассматриваемом примере спектральная функция допускает простую факторизацию. Однако это не всегда имеет место. При факторизации спектральных функций высокого порядка требуется находить корни полиномов степени выше второй, что в общем случае затруднительно и что ограничивает применение метода факторизации.