2.2. Моделирование стационарных случайных процессов методом скользящего суммирования

Пусть задана последовательность  независимых случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (ортонормированная последовательность случайных величин или нормированный дискретный белый шум). Корреляционная функция последовательности  имеет вид

                         (2.7)

Сформируем из последовательности  согласно алгоритму (2.1) новую последовательность :

                                  (2.8)

Случайная величина  получается путем суммирования (с весами )  независимых случайных чисел, представляющих собой отрезок последовательности . При этом для вычисления очередного значения  исходная последовательность  сдвигается на один элемент вправо, так что значение  выбрасывается. Зависимость (коррелированность) между случайными величинами  и  обеспечивается за счет того, что в образовании их участвует  общих случайных величин последовательности . При  значения  и  становятся некоррелированными. Характер корреляционных связей процесса  определяется, очевидно, лишь выбором значений коэффициентов  и не зависит от закона распределения исходных случайных чисел . Если исходные случайные числа распределены нормально, то в силу линейности преобразования последовательность  будет нормальным случайным процессом.

Случайная последовательность коррелированных чисел  имитирует в точках  значения некоторого стационарного случайного процесса  с корреляционной функцией , которая в точках  определяется, как легко видеть, соотношениями:

                              (2.9)

где .

Действительно, накладывая условие (2.7) на систему (2.8), получим (2.9).

Вычисление корреляционной функции  по формулам (2.9) является, по существу, операцией свертки дискретной функции  с дискретной функцией , т. е.

                                 (2.10)

Вычисление корреляционной функции  по формулам (2.9) можно свести также к перемножению матриц:

.                (2.11)

Таким образом, методом скользящего суммирования по алгоритму (2.1) можно формировать дискретные реализации стационарных нормальных случайных процессов с ограниченной во времени корреляционной функцией, определяемой выбором весовых множителей .

Если коэффициенты  заданы, то корреляционную функцию случайного процесса, формируемого методом скользящего суммирования, легко можно найти из соотношений (2.9) - (2.11). Но это лишь задача анализа. Для моделирования случайных процессов методом скользящего суммирования требуется решать задачу синтеза: по заданной корреляционной функции  найти нужные коэффициенты (весовую функцию дискретного фильтра), — которая, как и многие другие задачи синтеза, значительно сложнее задачи анализа. Рассмотрим возможные пути ее решения.