2.10. Моделирование нестационарных нормальных случайных процессов со стационарными приращениями

В данном параграфе рассматривается моделирование специального класса нестационарных нормальных случайных процессов, а именно случайных процессов со стационарными приращениями (СПСП).

По определению [71, 90], случайный процесс  со стационарными -ми приращениями (СПСП-k) — это такой случайный процесс, -я разность которого  является стационарным случайным процессом, где

Такому определению, как нетрудно видеть, удовлетворяют случайные процессы, у которых математическое ожидание  является полиномом -й степени и -я производная  представляет собой стационарный случайный процесс. В дальнейшем положим .

СПСП используются, например, при описании траекторий движения некоторых целей в радиолокации [2], когда скорость, ускорение или более высокие производные закона движения целей можно считать стационарными случайными процессами. Другим примером СПСП является набег фазы генератора, модулированного по частоте стационарным случайным процессом [59, 71].

С точки зрения цифрового моделирования в качестве основной характеристики СПСП-k удобно использовать корреляционную функцию -й разности процесса:

.                                   (2.117)

Рассмотрим моделирование случайных процессов со стационарными -ми приращениями по заданным корреляционным функциям их -х приращений. Для получения моделирующих алгоритмов выразим -ю разность  СПСП-k через значения самого процесса .

Для СПСП-1

,

для СПСП-2

,

вообще, для СПСП - , как нетрудно показать,

,

где  - биномиальные коэффициенты. Отсюда

.

Переходя к соответствующим дискретным функциям, получим

.                                 (2.118)

Например, для случайного процесса со стационарными третьими приращениями

.

Согласно (2.118) передаточная функция дискретного линейного фильтра, формирующего из -й разности СПСП-k дискретные значения самого процесса, имеет вид

.                    (2.119)

Итак, дискретные реализации СПСП-k можно формировать по рекуррентному алгоритму, используя дискретные значения  -й разности процесса. Поскольку -я разность является стационарным случайным процессом с корреляционной функцией (2.117), для формирования ее дискретных значений можно использовать рассмотренные выше алгоритмы.

Таким образом, для моделирования случайного процесса со стационарными -ми приращениями можно использовать следующий способ. На ЦВМ с помощью рассмотренных выше алгоритмов моделируется стационарный дискретный случайный процесс  с корреляционной функцией

,

а из него согласно рекуррентному уравнению (2.118) формируется требуемый случайный процесс. При выработке начального значения  процесса  предыдущие его значения , можно либо положить равными нулю, либо задаться ими, исходя из начальных условий решаемой задачи, например при моделировании траекторий целей, движущихся со случайным стационарным ускорением (СПСП-2), для нахождения  можно использовать заданные в качестве исходных начальные значения положения цели и ее скорости.

На практике случайный процесс со стационарными приращениями не всегда удобно характеризовать с помощью корреляционной функции его -й разности. В ряде случаев в качестве основной характеристики СПСП-k целесообразно использовать корреляционную функцию -й производной процесса, являющейся стационарным случайным процессом. В связи с этим представляет интерес рассмотреть моделирование СПСП-k по их заданной -й производной.

Пусть  и  — корреляционная функция и энергетический спектр -й производной случайного процесса  со стационарными -ми приращениями. Требуется, используя  или , найти алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций случайного процесса .

Для получения такого алгоритма достаточно найти связь между корреляционной функцией  -й производной СПСП -й корреляционной функцией  -й разности процесса, чтобы потом воспользоваться рекуррентной формулой (2.118). Эту связь можно найти следующим образом. Случайный процесс,  который является -й производной от СПСП-k, наблюдается на выходе линейной системы с передаточной функцией , когда на вход системы воздействует процесс . Обратно, зная  можно восстановить исходный случайный процесс  (с точностью до начальных условий, которые в дальнейшем положим нулевыми), пропуская  через линейную систему с передаточной функцией

,

т. е. через интегрирующее звено -го порядка.

В свою очередь, -я разность  процесса  может быть получена путем пропускания его через линейную систему из одинаковых последовательно соединенных звеньев, состоящих из элемента задержки на  и вычитающего элемента (рис. 2.10) Передаточная функция такого звена

.

Следовательно, передаточная функция фильтра, преобразующего  в , имеет вид

,

а частотная характеристика

.

Отсюда получаем, что энергетический спектр  -й разности  СПСП-k связан с энергетическим спектром  -й производной соотношением

.              (2.120)

Нетрудно убедиться, что корреляционная функция  является при этом многократной сверткой вида

                       (2.121)

где

Таким образом, для моделирования СПСП-k по его -й производной, имеющей энергетический спектр , можно использовать следующий способ. На ЦВМ моделируется дискретный случайный процесс , порождаемый непрерывным стационарным случайным процессом с энергетическим спектром  и функцией корреляции , определяемыми выражениями (2.120), (2.121), а затем по рекуррентному алгоритму (2.118) формируется дискретный случайный процесс , изображающий требуемый непрерывный случайный процесс  стационарными -ми приращениями.

Рис. 2.10

Для описания случайных процессов со стационарными первыми приращениями в теоретических исследованиях обычно используется так называемая структурная функция [59, 71]

,

которая представляет собой зависимость дисперсии разности значений процесса, разделенных интервалом времени .

Структурная функция  является четной функцией, причем . Корреляционная функция  разности  СПСП-1 связана со структурной функцией зависимостью [59, 71]

.

Отсюда получаем, что если требуется синтезировать случайный процесс  со стационарными первыми приращениями и с заданной структурной функцией , то для этого можно использовать следующий алгоритм:

,

где  — дискретный случайный процесс с корреляционной функцией

.

Полученные алгоритмы для моделирования СПСП-k не обладают методической погрешностью, если алгоритм формирования -й разности процесса не имеет методической погрешности. При моделировании СПСП-k по его -й производной нетрудно получить приближенные алгоритмы. Действительно, поскольку случайный процесс со стационарными -ми приращениями можно рассматривать как -кратный интеграл по его -й производной, то, формируя дискретные реализации  производной  и подвергая их -кратному суммированию (дискретному интегрированию), получим приближенные значения процесса . Например, приближенный алгоритм формирования случайного процесса со стационарными первыми приращениями при замене непрерывного интегрирования дискретным по способу прямоугольников имеет вид

.                             (2.122)

Уравнению (2.122) соответствует дискретная передаточная функция

.                         (2.123)

В качестве дискретного интегрирующего звена -го порядка при приближенном моделировании СПСП-k можно использовать цепочки, состоящие из  звеньев с передаточными функциями (2.123), т. е. фильтр с передаточной функцией

.

Тогда рекуррентный алгоритм для формирования  из  запишется в виде

.

Это наиболее простой, но наименее точный алгоритм, так как повторное приближенное интегрирование способом прямоугольников приводит к довольно быстрому накоплению ошибок. Для уменьшения ошибок нужно использовать другие известные алгоритмы -кратного дискретного интегрирования повышенной точности. Дискретные передаточные функции интегрирующих звеньев -го порядка этого типа даны в табл. З.1.

Приближенные алгоритмы моделирования СПСП-k, основанные на интегрировании -й производной процесса, неудобно использовать в случаях, когда производная  представляет собой белый шум. Процессы с -й производной в виде белого шума являются частным случаем СПСП-k. Это так называемые винеровские процессы -го порядка [7, 8]. Моделирование винеровских процессов целесообразно производить с помощью точных алгоритмов, приведенных раньше.

Рассмотрим теперь примеры моделирования случайных процессов со стационарными приращениями.

Пример 1. Пусть для моделирования задан нормальный случайный процесс  со стационарными первыми приращениями и с корреляционной функцией производной

.                            (2.124)

В соответствии с (2.121) корреляционная функция дискретных значений разности  процесса  в точках  равна

где .

Полученный интеграл легко вычисляется. В результате имеем

                               (2.125)

где

;                               (2.126)

  - корреляционная функция дискретных значений производной процесса .

Отсюда видно, что в данном случае корреляционная функция  с точностью до множителя  совпадает с корреляционной функцией  при всех , кроме . В точке , как нетрудно убедиться,

.

В связи с этим можно записать

,                             (2.127)

где

.                          (2.128)

Дискретный случайный процесс  с корреляционной функцией (2.127) имеет, очевидно, спектральную плотность

,

где  определяется формулой (2.69) при . Путем несложных преобразований можно произвести факторизацию спектральной плотности , в резу штате получим

,                     (2.129)

где

;                (2.130)

.                            (2.131)

Из формулы (2.129) непосредственно следует выражение для передаточной функции дискретного фильтра, формирующего из дискретного белого шума  с параметрами (0, 1) последовательность значений  первой разности моделируемого процесса:

.

Поскольку в соответствии с (2.119) передаточная функция фильтра формирующего из значений разности  значения  моделируемого процесса , равна

,

то сквозная передаточная функция от  к  имеет вид

.

Таким образом, приходим к следующему рекуррентному алгоритму формирования дискретных значений  случайного процесса со стационарными первыми приращениями и экспоненциальной корреляционной функцией производной [см. (2.124)]:

или

,                   (2.132)

где  - дискретный белый шум с параметрами ;  и  — коэффициенты, определяемые по формулам (2.130), (2.131) и ((2.128).

Результаты, полученные из рассмотрения данного примера, будут использованы в четвертой главе.

Пример 2. Рассмотрим моделирование винеровского случайного процесса 1-го порядка. Первая производная его является белым, шумом со спектральной плотностью . Поскольку корреляционная функция производной процесса является -функцией

,

то, очевидно, согласно (2.121)

Отсюда

Как и следовало ожидать, случайный процесс  является в данном случае дискретным белым шумом с дисперсией . Используя это, в соответствии с общим алгоритмом (2.118) получаем следующий алгоритм для формирования дискретных реализаций винеровского случайного процесса 1-го порядка:

.

Пример 3. Найдем параметры рекуррентного алгоритма для моделирования винеровского случайного процесса 2-го порядка. Согласно формуле (2.121), полагая , получим

                                  (2.133)

После вычисления элементарных интегралов в (2.133) найдем

                                   (2.134)

Корреляционной функции (2.134) соответствует спектральная плотность дискретного случайного процесса  вида

,

где

.

Отсюда для формирования последовательности  значений  получаем следующее рекуррентное уравнение:

.

Окончательно для моделирования винеровского процесса 2-го порядка в соответствии с (2.118) имеем алгоритм