4. Моделирование
инерционных нелинейных функциональных замкнутых систем
Сложнее
обстоит дело с цифровым моделированием замкнутых функциональных нелинейных
систем (системы III класса).
Пример
2.
Рассмотрим нелинейную систему, показанную на рис. 3.8, а, у которой нелинейный
элемент стоит в прямой цепи петли обратной связи. Положим, что линейный фильтр
с передаточной функцией 
является системой второго порядка.
Заменив этот фильтр дискретным фильтром (рис. 3.8, б) с передаточной функцией
,
получим следующие
уравнения, описывающие преобразования сигнала 
в эквивалентной дискретной нелинейной
системе:
(3.106)
Поскольку
вычисления производятся рекуррентно, все величины в последнем уравнении в
(3.106), кроме 
,
можно считать известными. Поэтому для нахождения интересующего нас неизвестного
значения требуется
решить относительно нелинейное
уравнение
, (3.107)
где 
.
Уравнение
(3.107) требуется решать на каждом шаге. Наиболее общим методом решения
является метод итераций. Для простых нелинейностей решение этого уравнения
иногда удается записать в виде формулы, например, если 
, то
или
,
где 
.
Отсюда
.
Таким
образом, приходим к выводу, что особенностью цифровой модели данной нелинейной
системы, содержащей нелинейный элемент в замкнутом контуре, является
необходимость решать на каждом шаге нелинейное алгебраическое уравнение при
условии, если линейные динамические звенья системы моделируются с помощью
рекуррентных уравнений. Нетрудно убедиться, что такое положение всегда имеет
место при цифровом моделировании замкнутых функциональных нелинейных систем.
Необходимость
решения нелинейных уравнений усложняет цифровые модели замкнутых нелинейных
систем по сравнению с цифровыми моделями разомкнутых нелинейных систем. Это
затруднение легко обойти, если в цепь обратной связи эквивалентной импульсной
системы ввести дополнительно элемент задержки на один период (рис. 3.8, в).
Тогда необходимость решения уравнения вида (3.107) отпадает, и цифровая модель
замкнутой нелинейной системы оказывается почти столь же простой, как и модель
разомкнутой системы.
Действительно,
уравнение (3.107) в этом случае принимает вид
. (3.108)
Вычисление текущего
значения сигнала на выходе замкнутой системы по уравнению (3.108) сводится к
нелинейному преобразованию известных (
) и заранее вычисленных (
) величин.
Следует
заметить, что введение элемента запаздывания вносит дополнительную погрешность
в цифровою модель. Однако при достаточно, малом шаге дискретизации влияние этой
погрешности практически незначительно. При 
эквивалентная дискретная система с
элементом задержки (рис. 3.8, в) так же, как и эквивалентная дискретная система
без элемента задержки (рис. 3.8, б), совпадает с исходной непрерывной системой
(рис. 3.8, а).
Рис.
3.8
В
настоящее время не представляется возможным дать некоторые единые рекомендации
для выбора шага дискретизации 
, при котором можно пренебречь влиянием
элемента запаздывания на величину погрешности моделирования. Это обусловлено
как большим разнообразием нелинейных систем, так и недостаточной изученностью
рассматриваемого вопроса. Опыт моделирования замкнутых нелинейных систем
радиоавтоматики (следящих координаторов), содержащих один нелинейный элемент с
характеристикой нелинейности в виде дискриминационной кривой, показал, что
влияние элемента запаздывания практически не ощущается при 
, где 
— постоянная времени замкнутой
следящей системы в линейном режиме (см. § 4.3). Это соотношение, по-видимому,
можно использовать для ориентировочного выбора шага дискретизации и при
моделировании других замкнутых нелинейных систем.
Увеличения
точности при заданном шаге дискретизации в системе с элементом задержки можно
достичь, используя метод фирмы IВМ,
основанный на сочетании метода корневых годографов с методом 
- преобразования или
же метод квазилинеаризации. Примеры применения этих методов даны в [109].
