2. Дискретизация по методу замены непрерывных систем эквивалентными импульсными системами

На рис. 3.1 показан пример линейной системы (а)  и, ее  импульсного эквивалента (б). Импульсная система работает следующим образом [85].

Входной сигнал  подается на импульсный элемент (ИЭ), который превращает его в последовательность импульсов, следующих с периодом повторения , равным шагу дискретизации, и промодулированных по амплитуде сигналом , т. е.

,

где  - функция, описывающая форму импульса.

Импульсный элемент можно представить в виде последовательного соединения простейшего импульсного элемента, преобразующего сигнал  в модулированную последовательность мгновенных импульсов (-функций) вида

и интерполирующего фильтра (ИФ), представляющего собой линейную непрерывную систему с импульсной переходной характеристикой  (рис. 3.1, в). Выбирая шаг дискретизации  и функцию , можно с достаточной точностью аппроксимировать непрерывную функцию  функцией  (см. § 1.7). На рис. 1.5 показаны примеры ступенчатой аппроксимации функции  и аппроксимации ее отрезками прямых (линейная интерполяция в точках ).

Рис. 3.1

В первом случае импульсная переходная характеристика интерполирующего фильтра представляет собой прямоугольный импульс с единичной амплитудой длительностью , а во втором — симметричный импульс треугольной формы с единичной амплитудой длительностью . Аналитические выражения импульсных переходных характеристик для этих случаев приведены в табл. 1.1.

При других более точных видах интерполяции, например при квадратичной интерполяции, форма импульсной переходной характеристики интерполирующего фильтра будет более сложной [49].

Интерполирующий фильтр и система с передаточной функцией  образуют так называемую приведенную непрерывную часть [85] (на рис. 3.1 показана пунктиром). Импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части, как нетрудно видеть, равна свертке функций  и :

,

где  — импульсная переходная характеристика непрерывной системы. Поскольку приведенная непрерывная часть находится под воздействием -импульсов, сигнал  на выходе импульсной системы можно представить в виде

.

В дискретных точках  выходной сигнал импульсной системы равен

,                (3.17)

т. е. последовательность дискретных значений выходного сигнала выражается в виде дискретной свертки последовательности значений входного сигнала и дискретной импульсной переходной характеристики  приведенной непрерывной части.

Суммирование в формуле (3.17) распространяется на всю область существования дискретных значений, стоящих под знаком суммы. В частном случае, когда , формула (3.17) запишется в виде

.                              (3.18)

Если, кроме того, импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части ограничена справа, т. е. имеет конечную длительность, равную , то

.              (3.19)

Передаточные функции дискретных фильтров, описываемых формулами (3.18) и (3.19), имеют соответственно вид

,                         (3.20)

.                         (3.21)

Структурная схема дискретного фильтра с передаточной функцией (3.20) будет такой же, как и схема фильтра, представленного на рис. 2.1, если в ней заменить коэффициенты  на .

Подготовительная работа к моделированию при использовании алгоритмов дискретной свертки рассмотренного типа сложнее подготовительной работы при использовании алгоритмов дискретной свертки, основанных на методах численного интегрирования, так как по заданной импульсной переходной характеристике системы требуется еще находить импульсную переходную характеристику  приведенной непрерывной части, задавшись формой импульсной переходной характеристики  интерполирующего фильтра.

Наиболее просто функция  находится в случае, когда интерполирующий фильтр представляет собой просто безынерционный усилитель с коэффициентом передачи, равным  (непрерывный входной сигнал  заменяется при этом модулированной последовательностью  - функций с огибающей ), а именно .

Тогда согласно (3.18)

.                            (3.22)

Сравнивая (3.22) с (3.10), убеждаемся, что такая же дискретная свертка получается из непрерывной свертки при использовании метода прямоугольников.

Дискретная аппроксимация непрерывных систем по принципу замены их эквивалентными импульсными системами имеет самостоятельное значение при получении рекуррентных моделирующих алгоритмов (§ 3.3).