Глава вторая. Моделирование типовых случайных процессов

2.1. Постановка задачи

Рассмотренные в первой главе методы моделирования случайных векторов в рамках многомерных распределений и рамках корреляционной теории, вообще говоря, пригодны для моделирования случайных процессов, заданных на конечном интервале времени. Однако при формировании реализаций большой длины эти методы, как было отмечено, требуют большого количества вычислений и трудоемкой подготовительной работы, что затрудняет их практическое использование.

К сожалению, более простых методов получения неограниченных во времени дискретных реализаций случайных процессов с заданным многомерным законом распределения или же с заданной корреляционной функцией  до настоящего времени не известно. Однако на практике столь широко поставленные задачи моделирования случайных процессов встречаются редко. Чаще требуется моделировать случайные процессы, относящиеся к определенному, более узкому классу случайных процессов, например: стационарные нормальные случайные процессы; стационарные процессы, не являющиеся нормальными, но порождаемые нормальными в нелинейных системах; нестационарные нормальные случайные процессы со стационарными приращениями; многомерные стационарные нормальные случайные процессы (т. е. несколько стационарных и стационарно связанных случайных процессов); марковские процессы; случайные потоки и др. Для этих классов случайных процессов можно указать достаточно эффективные моделирующие алгоритмы.

В настоящей главе рассматриваются вопросы моделирования названных классов случайных процессов. Кроме этого, рассматриваются принципы моделирования случайных полей, т. е. случайных функций нескольких переменных. Основное внимание уделено методам моделирования стационарных нормальных случайных процессов, так как эти процессы, с одной стороны, имеют наибольшее распространение в качестве математических моделей различного рода флюктуации в радиотехнике, а с другой стороны, имея эффективные алгоритмы для моделирования стационарных нормальных случайных процессов, можно сравнительно просто получить алгоритмы для моделирования других классов случайных процессов, именно тех случайных процессов, которые можно рассматривать как порождаемые стационарными нормальными процессами при различных линейных и нелинейных преобразованиях.

Для стационарных нормальных случайных процессов в последнее время найдены весьма экономичные моделирующие алгоритмы. В основу этих алгоритмов положено линейное преобразование стационарной последовательности  независимых нормальных случайных чисел (дискретный белый шум) в последовательность , коррелированную по заданному закону. При этом оператор линейного преобразования записывается либо в виде скользящего суммирования с некоторым весом

,                                      (2.1)

либо как рекуррентное уравнение вида

    (2.2)

Вид корреляционной функции случайного процесса, моделируемого с помощью алгоритмов (2.1) и (2.2), определяется набором значений параметров ,  и  и их количеством, которое обычно невелико. Алгоритмы (2.1) и (2.2) отличаются простотой и позволяют формировать дискретные реализации случайных процессов сколь угодно большой длины.

Начальные условия в рекуррентном уравнении (2.2), т. е. предыдущие значения последовательности  при вычислении первого значения этой последовательности можно выбирать нулевыми. При этом будет иметь место некоторый переходный процесс, в результате которого начальный участок моделируемого процесса будет искаженным. Однако после окончания переходного процесса последовательность  становится стационарной. В §2.6 будет показано, каким образом нужно выбрать начальные условия, чтобы избавиться от переходного процесса.

Параметры ,  рекуррентных алгоритмов и дискретная весовая функция  в формуле скользящего суммирования определяются на этапе предварительной подготовки к моделированию. Различие между предложенными методами моделирования состоит в путях перехода от заданных корреляционно-спектральных характеристик к параметрам алгоритмов, т. е. в подготовительной работе.

Уравнения (2.1) и (2.2) описывают поведение некоторого дискретного (импульсного) линейного фильтра [86], который из дискретного белого шума, подаваемого на его вход, формирует на выходе дискретный случайный процесс с заданными корреляционно-спектральными характеристиками. Передаточные функции этих фильтров в смысле дискретного преобразования Лапласа имеют соответственно вид

,                                (2.3)

                             (2.4)

Функция  определяется как отношение дискретного преобразования Лапласа (иначе -преобразования или -преобразования [85]) выходного сигнала к дискретному преобразованию Лапласа входного сигнала. Если входной и выходной сигналы, обозначить соответственно через  и , то

,

где

;                               (2.5)

;                              (2.6)

  — комплексное число, реальная часть которого выбирается из условия сходимости рядов (2.5) и (2.6).

Аргумент  передаточной функции является комплексной переменной, модуль которой равен единице. Символ  можно рассматривать как изображение оператора, который осуществляет задержку входного сигнала на  периодов, так как смещение функции  на  периодов соответствует умножению ее изображения на , т. е.

.

Дискретное преобразование Лапласа обладает свойствами, во многом аналогичными свойствам обычного преобразования Лапласа [85]. Кроме отмеченных выше, в дальнейшем нам потребуется еще знать свойство линейности (изображение суммы дискретных функций равно сумме изображений слагаемых и умножение функции на постоянный множитель соответствует умножению ее изображения на этот же множитель), а также то, что дискретная передаточная функция системы последовательно (параллельно) соединенных дискретных линейных фильтров равна произведению (сумме) дискретных передаточных функций отдельных фильтров.

Рис. 2.1

 Используя эти свойства -преобразования (в том числе и отмеченные ранее), легко можно изобразить структурные схемы дискретных фильтров, описываемых уравнениями (2.1) и (2.2) и имеющих передаточные функции (2.3) и (2.4) соответственно (рис. 2.1 и 2.2). На этих рисунках элемент вычитания в отличие от элементов суммирования зачернен.

Рис. 2.2.

Как следует из рис. 2.2, рекуррентное уравнение (2.2) описывает процессы в замкнутой линейной дискретной системе, в отличие от формулы скользящего суммирования (2.1), описывающей поведение разомкнутой дискретной линейной системы.

Процесс перехода от передаточных функций вида (2.3) и (2.4) к уравнениям (2.1) и (2.2) соответственно, описывающим процесс дискретной фильтрации во времени, очевиден; он называется идентификацией дискретных передаточных функций [35].

Задачу цифрового моделирования случайных процессов с помощью скользящего суммирования и рекуррентных разностных уравнений можно рассматривать как задачу синтеза линейного дискретного формирующего фильтра, который преобразует дискретный белый шум в коррелированный дискретный случайный процесс с заданными корреляционно-спектральными характеристика ми. В случае моделирования многомерных процессов ставится задача синтеза соответствующих многомерных формирующих фильтров.

Ниже рассматриваются различные методы решения этих задач применительно к моделированию стационарных (в том числе и многомерных) и нестационарных нормальных случайных процессов. Для моделирования ненормальных случайных процессов предлагаются нелинейные дискретные формирующие фильтры. В основном рассматриваются дискретные случайные процессы, порождаемые непрерывными. При синтезе дискретных формирующих фильтров широко используются свойства исходных непрерывных процессов и систем.