3. Метод разложения в ряд Фурье

Для стационарных случайных процессов наиболее простым частным случаем общего ортогонального разложения (1.27) на конечном интервале  является разложение, в котором собственными функциями являются синусы и косинусы (разложение случайных процессов в ряд Фурье). Каноническое разложение случайного процесса имеет при этом вид

,                                   (1.29)

где  — случайные амплитуды гармоник;  — частоты гармоник, кратные основной частоте .

При  реализации случайного процесса (1.29) являются периодическими функциями с периодом . Предполагается, что период , в общем случае не совпадает с интервалом разложения  и его нужно выбрать. Сделать выбор величины , и найти алгоритм канонического разложения (1.29) позволяют следующие соображения.

Поскольку коэффициенты  некоррелированы, то корреляционная функция случайного процесса (1.29) согласно общей формуле (1.22) имеет вид

,

где — дисперсии коэффициентов , и .

При равенстве дисперсий в парах коэффициентов  и  с одинаковым индексом случайный процесс (1.29) является стационарным в широком смысле, так как его корреляционная функция зависит лишь от разности аргументов  и :

,

где . При этом корреляционная функция  является периодической с периодом , равным периоду процесса , а дисперсии  равны коэффициентам разложения корреляционной функции  в ряд Фурье по косинусам.

Изменениям аргумента корреляционной функции  в пределах периода, т. е. от  до , соответствует изменение времени  и  в пределах полупериода, т. е. в пределах интервала длиной .

Все это подсказывает следующий путь канонического разложения стационарного случайного процесса в ряд вида (1.29) на интервале .

Зная величину интервала разложения , находим коэффициенты разложения корреляционной функции  заданного процесса в ряд Фурье по косинусам на удвоенном интервале  по формулам:

                  (1.30)

Полученные коэффициенты  принимаем в качестве дисперсий   коэффициентов  и  в искомом разложении.

Если величина интервала  выбрана такой, что при  значения корреляционной функции равны нулю или пренебрежимо малы, то верхний предел в интегралах (1.30) можно положить равным бесконечности. Тогда

где  — энергетический спектр моделируемого случайного процесса. Следовательно, в этих случаях дисперсии  с точностью до множителя совпадают со значениями функции спектральной плотности  моделируемого случайного процесса в . Это при известной функции спектральной плотности делает процесс вычисления дисперсий  весьма простым.

Заметим, что при разложении нормального случайного процесса в ряд (1.29) коэффициенты  и  будут нормальными случайными величинами.

Рассматриваемый метод моделирования стационарных случайных процессов достаточно прост по своей подготовительной работе. После получения дисперсий  дискретные реализации случайного процесса при постоянном шаге дискретизации  формируются  согласно алгоритму

,                     (1.31)

где  и  — некоррелированные случайные числа с параметрами .

Разложение (1.29) можно, конечно, использовать и для получения дискретных реализаций процессов в неравноотстоящих точках.

Число слагаемых в формуле (1.31) практически целесообразно выбирать из условия

,

где  — достаточно малая величина. Это неравенство выражает тот факт, что сумма дисперсий  должна быть равна дисперсии моделируемого процесса.

При моделировании нормальных случайных процессов распределение коэффициентов  и  должно быть нормальным. В этих случаях иногда удобно представить алгоритм (1.31) в виде

,                       (1.32)

где  — случайные коэффициенты с релеевским распределением (1.4), у которого параметр  равен ,  — случайные фазы гармоник, независимые от  и распределенные равномерно в интервале .

Интересно заметить, что если в разложении (1.32) коэффициенты  выбрать неслучайными, т. е. положить

                                   (1.33)

и выбрать значения  из условия , оставив фазы случайными равномерно распределенными в интервале , то корреляционные функции процессов  и  будут одинаковыми. Этот факт положен в основу метода моделирования, описанного в [105].

Алгоритм (1.33) требует меньшего объема вычислений, чем алгоритмы (1.31) и (1.32), так как содержит в два раза меньше случайных коэффициентов, реализации которых необходимо формировать на ЦВМ при моделировании. Однако алгоритм (1.33) не позволяет, строго говоря, формировать реализации случайных процессов с нормальным распределением, хотя при большом числе слагаемых с приблизительно равными коэффициентами в силу центральной предельной теоремы закон распределения формируемого процесса будет близок к нормальному.

Недостатком рассмотренного способа моделирования является необходимость учета большого числа слагаемых в формулах (1.31) — (1.33), когда интервал разложения  во много раз превышает время корреляции  моделируемого процесса. Последнее объясняется тем, что при  ряд (1.29) сходится, вообще говоря, медленно и, следовательно, для получения приемлемой точности в сумме (1.29) приходится учитывать большое число слагаемых.

Алгоритмы (1.31) — (1.33) включают в себя операции вычисления тригонометрических функций, для выполнения которых на ЦВМ используются стандартные программы, насчитывающие десятки элементарных операций. Это также увеличивает объем вычислений и снижает эффективность алгоритмов (1.31)—(1.33).

Если память машины достаточна, то для сокращения объема вычислений при многократном формировании реализаций случайных векторов значения тригонометрических функций в дискретных точках, однажды вычисленные, можно запомнить и использовать в готовом виде для дальнейших вычислений (см. § 1.2).

Пои постоянном шаге дискретизации объем вычислений можно значительно уменьшить, если исключить многократные вычисления тригонометрических функций от аргументов вида , используя рекуррентный алгоритм (1.3). При этом достаточно вычислить лишь значения тригонометрических функций при , т.е.  и  для всех . Коэффициенты  и , в свою очередь, можно также вычислять рекуррентно для , зная  и .

Использование рекуррентных формул (1.3) вместо прямого вычисления тригонометрических функций на каждом шаге сокращает количество элементарных операций для формирования реализации случайного процесса по алгоритмам (1.31) — (1.33) на порядок и более в зависимости от того, сколько элементарных операций насчитывают программы вычисления тригонометрических функций.