§ 1. Действие в классической механике

Одним из наиболее изящных способов выразить условия, выделяющие из всех возможных траекторий определенную траекторию , является принцип наименьшего действия. Допустим, что существует некоторая величина , которую можно вычислить для каждой траектории. Классическая траектория  - это та, для которой  принимает минимальное значение. Фактически используют только условие экстремальности действия; иными словами, значение  в первом приближении не изменится, если незначительно отступить от траектории .

Величина  задается выражением

,                 (2.1)

где  - лагранжиан системы. Для частицы с массой , движущейся в потенциальном поле , которое является функцией координаты и времени, лагранжиан запишется как

.                (2.2)

Вид экстремальной траектории  находится с помощью обычных вариационных методов. Допустим, например, что траектория отличается от  на величину . Условие того, что конечные точки траектории  фиксированы, требует, чтобы

.             (2.3)

Условие экстремальности для , соответствующего классической траектории , означает, что

              (2.4)

с точностью до первого порядка малости по . Используя определение (2.1), мы можем далее написать

                       (2.5)

После интегрирования по частям вариация  примет вид

.                 (2.6)

Так как на концах траектории , то первый член в правой части этого выражения равен нулю. В промежуточных точках  может принимать произвольное значение; поэтому экстремальное значение  отвечает той траектории, в каждой точке которой всегда выполнено равенство

.                 (2.7)

Это и есть классическое уравнение движения в лагранжевой форме.

В классической механике важен вид интеграла , а не его экстремальное значение . Это обусловлено тем, что для определения траектории, соответствующей наименьшей величине действия, необходимо знать действие  для всего семейства близколежащих траекторий.

В квантовой механике важны как сам вид интеграла , так и его значение в точке экстремума. Вычислим экстремальное значение  для нескольких случаев.

Задача 2.1. Для свободной частицы лагранжиан . Покажите, что действие, соответствующее классическому движению такой частицы,

.               (2.8)

Задача 2.2. Лагранжиан гармонического осциллятора . Покажите, что классическое действие

,                  (2.9)

где .

Задача 2.3. Вычислите  для частицы, на которую действует постоянная сила , т. е. когда лагранжиан .

Задача 2.4. В классической механике импульс

.                     (2.10)

Покажите, что в начальной точке траектории импульс равен

.                 (2.11)

Замечание. Для этого надо рассмотреть изменение соотношения (2.6) при варьировании в конечных точках.

Задача 2.5. Энергия в классической механике определяется выражением

.               (2.12)

Покажите, что в конечной точке траектории энергия равна

.              (2.13)

Замечание. Вариация по времени в конечной точке приводит к изменению траектории, так как все траектории должны быть классическими.