§ 11. Вычисление интегралов по траекториям с помощью рядов Фурье

Рассмотрим интеграл по траекториям для случая гармонического осциллятора (см. задачу 3.8). Этот интеграл имеет вид

.               (3.83)

С помощью методов, изложенных в § 5, этот интеграл по траекториям, как и в задаче 3.8, можно свести к произведению двух функций. Наиболее важная из этих функций зависит от классической траектории гармонического осциллятора и содержится в формуле (3.59). Другая функция, зависящая только от временного интеграла, приведена в равенстве (3.60). Эту функцию можно записать как

.                  (3.84)

Мы вычислим этот интеграл, во всяком случае, с точностью до множителя, не зависящего от , способом, который иллюстрирует еще одну возможность в обращении с интегралами по траекториям. Поскольку все траектории выходят из точки 0 в момент времени  и возвращаются в эту же точку в момент , функцию  можно разложить в ряд Фурье но синусам с основной гармоникой, равной :

.             (3.85)

Тогда вместо того, чтобы в каждый момент времени  рассматривать траектории как функции от , мы можем считать их функциями коэффициентов . Это есть линейное преобразование, якобиан которого  является постоянной величиной, не зависящей, очевидно, от ,  и .

Конечно, этот якобиан можно вычислить непосредственно. Однако мы избежим здесь этого вычисления, собрав все множители, которые не зависят от  (в том числе и ), в одну константу. Точное значение этой постоянной всегда можно найти, поскольку мы знаем ее значение  для  (случай свободной частицы).

Интеграл для действия может быть записан через ряды Фурье (3.85). Поэтому член, пропорциональный кинетической энергии, становится равным

                    (3.86)

и аналогично член, пропорциональный потенциальной энергии, становится равным

.               (3.87)

Если предположить, что время  разделено на интервалы длины , как это указано в равенствах (2.19), так что имеется лишь конечное число  коэффициентов , то интеграл по траекториям приобретает вид

.                    (3.88)

Поскольку экспонента может быть разбита на сомножители, то можно порознь вычислить интеграл по каждому из коэффициентов . В результате такого интегрирования получим

.                  (3.89)

Таким образом, интеграл по траекториям пропорционален произведению

.                (3.90)

Первое произведение справа не зависит от  и объединяется с якобианом и другими сомножителями, которые мы собрали в одну постоянную. Второе произведение стремится к пределу , когда , т. е. когда . Поэтому

,                    (3.91)

где постоянная  не зависит от . Но при  наш интеграл совпадает со случаем свободной частицы, для которого мы уже нашли, что

.             (3.92)

Следовательно, для гармонического осциллятора имеем

.                 (3.93)

Это нужно подставить в формулу (3.59), чтобы получить полное решение.

Задача 3.13. Следя за всеми постоянными, покажите, что якобиан удовлетворяет соотношению

,                      (3.94)

когда .