§ 3. Матричные элементы перехода для некоторых специальных функционалов

Соотношение (7.34) имеет много интересных приложений. В этом параграфе мы проанализируем некоторые из них. При этом ограничимся частным случаем одномерного движения частицы под действием потенциала .

Предположим, что вдоль траектории частицы действие задается выражением

.              (7.35)

Если каждая траектория сдвигается на малую величину , то в первом приближении

.                    (7.36)

Из соотношения (7.34) в этом случае следует

.              (7.37)

Это выражение можно получить и иначе, если встать на точку зрения, применявшуюся нами при выводе формулы (7.33); другими словами, если провести разбиение временного интервала на малые отрезки длиной . Действие  в этом случае запишется как

.                (7.38)

Если выбрать некоторый момент времени  и, как прежде, обозначить через  соответствующую точку траектории, то

.             (7.39)

Учитывая теперь (7.33), получаем

.                     (7.40)

В этом последнем соотношении член, содержащий  в знаменателе, фактически является ускорением  в момент времени . Поэтому соотношение (7.40) оказывается просто частным случаем выражения (7.37). Оно точно совпадает с последним, если вариация  равна нулю для всех моментов , отличных от . Если же в (7.37) положить  равной , то получим соотношение (7.40); поскольку оно справедливо для любых , то фактически эквивалентно соотношению (7.37), являясь его более подробной записью.

Пусть теперь в соотношении (7.37) мы положили . Тогда  и

.               (7.41)

Так как этот результат должен быть верен для любого выбора функций , то в любой момент времени будет выполняться равенство

.                (7.42)

Это выражение является квантовомеханическим аналогом закона Ньютона. Если для матричного элемента перехода воспользоваться классической аналогией, рассмотренной в § 1, то можно сказать, что в каждый момент времени произведение «средней взвешенной» массы на ускорение, «усредненное» по всем траекториям с весом , равно «среднему» значению силы (т. е. градиенту потенциала, взятому с обратным знаком) в тот же самый момент времени.

В качестве другого примера рассмотрим случай, когда  является произвольным (но не равным тождественно нулю) функционалом от всех пространственных переменных, исключая . Тогда левая часть соотношения (7.40) обращается в нуль (поскольку ) и мы имеем

.                       (7.43)

Из этого соотношения видно, что усредненный по всем траекториям матричный элемент выражения  обращается в нуль в момент  даже в том случае, если усреднение проводится с произвольным весом, лишь бы весовой функционал не зависел от точки траектории, относящейся к моменту .

Допустим теперь, что функционал зависит от этой точки; для простоты выберем его, например, равным . Применив соотношение (7.40), получаем

.     (7.44)

Если предположить, что потенциал  - гладкая функция, то в пределе при  величина  станет пренебрежимо малой по сравнению с другими членами и выражение (7.44) принимает вид

.              (7.40)

Последнее соотношение содержит произведение пространственной переменной  и импульса . В первом члене импульс линейно усреднен для момента , а пространственная переменная относится к моменту . Во втором члене ее значение снова относится к моменту , в то время как значение импульса соответствует моменту . Таким образом, из этого уравнения видно, что матричный элемент перехода произведения пространственной координаты и импульса зависит от порядка моментов времени, в которые определялись эти две величины.

Позднее, когда мы перейдем к более привычным операторным обозначениям, будет видно, что оба операторных уравнения, соответствующие уравнению (7.42), и правило коммутации операторов (7.45) получаются из одного и того же фундаментального соотношения (7.34).

Из выражения (7.45) можно сделать дальнейшие выводы, которые дадут нам лучшее представление о свойствах траектории, играющих важную роль в квантовой механике. Рассмотрим порознь

                    (7.46)

и

.                 (7.47)

Эти члены отличаются один от другого на величину порядка , поскольку они представляют собой одну и ту же величину, вычисленную в два различных момента, отличающихся на . Поэтому можно подставить выражение (7.47) вместо второго члена соотношения (7.45). В результате получим

.                  (7.48)

Можем записать это и по-другому:

.              (7.49)

Отсюда следует, что матричный элемент квадрата скорости имеет порядок  и неограниченно растет, когда  стремится к нулю. Поэтому можно заключить, что основные траектории квантовомеханической частицы не имеют вида гладкой кривой с определенным наклоном (т. е. с определенной скоростью), а изображаются линией с очень мелкими хаотическими изломами, как показано на фиг. 7.1. На самом деле эта хаотичность такова, что если для определения «среднего» воспользоваться классическими понятиями, то «среднеквадратичной» скорости просто не будет существовать.

Фиг. 7.1. Типичные траектории квантовомеханической частицы.

Они имеют нерегулярные изломы, если рассматривать их с достаточным увеличением. Таким образом, хотя средняя скорость может быть вычислена, но среднего квадрата скорости не существует. Другими словами, траектории не дифференцируемы.

Если для малого промежутка времени  среднюю скорость определить, например, как , то «среднеквадратичная скорость» для малого интервала времени конечна, но величина ее будет тем больше, чем меньше взятый интервал.

Итак, мы знаем, что квантовомеханические траектории весьма хаотичны. Однако, будучи усредненными по разумному отрезку времени, эти хаотичности приводят к разумной величине дрейфа, т. е. к «средней скорости», несмотря на то что для коротких временных интервалов такая «средняя» величина скорости очень велика.

Задача 7.6. Покажите, что для частицы, движущейся в трехмерном пространстве , справедливы соотношения

,                 (7.50)

.                   (7.51)

Отсюда видно, что матричный элемент кинетической энергии нельзя написать просто как

,             (7.52)

поскольку эта величина неограниченно растет при стремлении  к нулю. Как же получить правильное выражение для кинетической энергии? Сделаем эвристическое предположение, что нам будет достаточно ограничиться рассмотрением тех функционалов , которые исследуются методами теории возмущений. Тогда возникает вопрос: как ввести понятие возмущения в кинетическую энергию? Пусть за малый интервал времени  масса частицы  изменяется на величину  (где  тоже очень мало); тогда изменение действия, пропорциональное кинетической энергии, будет равно величине . Итак, мы пришли к вопросу: какой вид (в первом приближении по возмущениям) имеет выражение для , если на короткое время масса частицы  принимает величину ?

Для простоты интервал  можно положить равным , как это было уже сделано нами в определении пространственных переменных , и т. д.; тогда в разложении по возмущениям член первого порядка, поделенный на , будет равен кинетической энергии частицы. Ясно, что изменение действия  будет равно  [если в выражении (7.38) в члене с индексом  массу  заменить на ]. Однако это не единственное изменение в интеграле по траекториям, вызываемое вариацией массы. Дело в том, что, кроме величины самого интеграла, изменяется также (на величину ) коэффициент нормировки , пропорциональный . Следовательно, полное изменение интеграла по траекториям, обусловленное малой вариацией , после деления на  запишется (с точностью до первого порядка) в виде

,                (7.54)

а это не что иное, как кинетическая энергия, умноженная на величину .

Из равенства (7.49) можно было бы заключить, что это выражение равно нулю. Однако само равенство (7.49) выполняется лишь в пределе при  с точностью до членов порядка , в то время как (7.53) при таком же предельном переходе остается конечным. Это выражение можно переписать иначе, если разложить квадратичный член. В уравнении (7.40) положим  равным . Сохраняя члены низшего порядка по , получаем

.                       (7.54)

Таким образом, левую часть уравнения (7.54) можно рассматривать как матричный элемент кинетической энергии. Отсюда видно, что простейший способ написания матричных элементов перехода, содержащих различные степени скоростей, заключается в замене этих степеней произведениями скоростей, в которых каждый множитель немного отличается от другого небольшим сдвигом во времени.

В простых задачах матричные элементы перехода иногда можно вычислить непосредственно. Тот же самый результат в этих задачах можно получить, воспользовавшись соотношениями для матричных элементов перехода, которые мы нашли в § 2. Из этих соотношений получаются разрешимые дифференциальные уравнения для матричных элементов. Для иллюстрации рассмотрим теперь несколько примеров применения нашего общего метода, однако, как будет видно, все задачи, для которых этот метод окажется результативным, настолько просты, что и непосредственное вычисление матричных элементов фактически вряд ли будет сложнее.

В качестве первого примера рассмотрим случай свободной частицы, которая переходит из точки  в точку  за время . Найдем матричный элемент перехода для пространственной координаты в момент времени , т. е. для . Конечно, он будет некоторой функцией от , поэтому ясно, что

.                    (7.55)

Так как в рассматриваемом случае все потенциалы, действующие на частицу, постоянны в пространстве (поскольку отсутствуют силы), то вторая производная от матричного элемента перехода для пространственной координаты равна нулю в соответствии с уравнением (7.42) и, следовательно, результатом интегрирования будет

.                      (7.56)

Заметим, что выражение в скобках есть как раз величина , взятая вдоль классической траектории .

Задача 7.7. Покажите, что для любой квадратичной функции действия

.                   (7.57)

В качестве несколько менее тривиального примера попытаемся вычислить матричный элемент перехода  для того же случая свободной частицы, что и выше. Поскольку этот матричный элемент есть уже функция двух моментов времени, можно записать его как . Вторая производная по времени в этом случае равна

.                   (7.58)

Этот матричный элемент можно вычислить с помощью подстановки  в уравнение (7.40). В случае , используя те же соображения, которые приводят к уравнению (7.42), получаем , тогда как при , повторив соображения, приводившие нас к соотношению (7.44), найдем, что матричный элемент перехода (7.58) является величиной порядка . Переходя к пределу при , имеем

.                  (7.59)

Поскольку в рассматриваемом случае свободной частицы потенциал не зависит от пространственных координат, то второй член в правой части выражения (7.59) равен нулю. Получившееся при этом уравнение можно решить, разбив область интересующих нас значений  на две части. В области, где ,

,                  (7.60)

а при

.                 (7.61)

Таким образом, в точке  первая производная функции  по времени претерпевает скачок, равный ; в соответствии с уравнением (7.59) . Кроме того, следствием граничных условий являются равенства

                        (7.62)

Этого еще недостаточно для определения всех четырех функций , ,  и , однако мы можем дополнительно использовать соотношение

,                        (7.63)

полученное дифференцированием функции  по переменной , или учесть, что функция  должна быть симметричной относительно переменных  и . Отсюда следует, что , ,  и  должны быть линейными функциями переменной . Теперь граничных условий уже достаточно для определения решения, и мы получаем

                 (7.64)

Легко видеть, что этот результат является правильным. Произведение двух классических траекторий  и , взятых в разные моменты времени, представляет собой решение, удовлетворяющее необходимым граничным условиям однородных уравнений, которые получаются, если приравнять нулю правые части (7.59) и (7.63). Последние члены в правой части соотношений (7.64) являются частными решениями неоднородных уравнений (7.59) и (7.63), обращающимися в нуль на концах интервала.

Матричный элемент перехода от произведения двух пространственных координат, взятых для двух различных моментов, является не просто выражением для произведения двух соответствующих положений на классической траектории. Он содержит малый добавочный член, который имеет чисто квантовую природу. Этот дополнительный член вполне совместим с нашей картиной квантовомеханического движения. Хотя частица, движущаяся между фиксированными точками на концах интервала, в среднем будет находиться на классической траектории, тем не менее она имеет определенную амплитуду вероятности для движений по каждой из возможных траекторий. Этот факт необходимо помнить, когда рассматривается матричный элемент перехода от произведения пространственных координат, взятых для двух различных моментов. В этом матричном элементе должны быть учтены все возможные положения частицы на альтернативных траекториях; это обстоятельство и дает нам дополнительный член. Альтернативы совпадут лишь в фиксированных точках интервала.

Можно лучше понять смысл этого утверждения, если снова применить нашу классическую аналогию. Предположим, что траектория частицы проходит через некоторую точку с координатой , абсолютное значение которой велико в момент времени . Тогда «среднее» значение переменной  для более позднего момента времени  не является уже обычным средним значением траектории ; в этом случае налицо корреляция с предыдущим большим отклонением. Поэтому «среднее» значение произведения не является просто произведением «средних».

Здесь и в других приложениях классической аналогии нужно помнить, что термин «среднее» относится к величине, определяемой с помощью весовой функции . Эта экспонента не будет строго положительна, а в общем случае является комплексной величиной. Таким образом, мы получим чисто квантовый результат, подобный соотношению (7.64), где дополнительный корреляционный член является чисто мнимым.

Задача 7.8. Найдите матричный элемент перехода от произведения  в случае, когда потенциал не остается постоянным, а соответствует потенциалу сил, действующих на гармонический осциллятор. Получите дифференциальные уравнения для функции  и попытайтесь найти решение

.             (7.65)

Получите уравнение для , показав, что  не зависит от значений координат конечных точек  и  и вида силы [производной от потенциала ]. Покажите, что вообще при

                 (7.66)