§ 3. Операторы

Ожидаемые значения. Мы можем рассмотреть теперь некоторые другие свойства преобразующих функций. Попытаемся ответить на такой вопрос: система находится в состоянии, которое определяется волновой функцией , и мы измеряем величину ; какое среднее значение получится для величины  при многократном повторении эксперимента? Мы будем обозначать это среднее значение, называемое иногда ожидаемым значением, символом .

Предположим, что в принципе возможно одновременное измерение нескольких физических величин , причем измерение величины  дает какое-то одно значение из непрерывного или дискретного ряда чисел , измерение величины  - некоторое значение , …. Вероятность получить определенный набор  равна , а вероятность получить для величины  некоторое значение  при любых , … (например, вообще не измеряя последние) равна

.                  (5.39)

Суммирование в этом равенстве производится по всем возможным значениям непрерывного или дискретного ряда величин .

Среднее, или ожидаемое, значение результата измерения величины  получается умножением вероятности (5.39) на величину  и последующим суммированием произведений по всем возможным значениям этого . Таким образом,

.             (5.40)

Необходимость вычисления подобных средних значений часто возникает при решении квантовомеханических задач. Поэтому полезно иметь формулы, упрощающие такие вычисления. Этот вопрос, связанный с операторами, уже обсуждался вкратце в § 1 гл. 4. Здесь мы получим несколько дополнительных результатов. Однако нигде в данной книге мы не будем обстоятельно излагать операторное исчисление, поскольку имеется целый ряд блестящих работ, посвященных этому вопросу (см., например, [24]).

Операторы. Попытаемся выразить ожидаемое значение величины  непосредственно с помощью исходной волновой функции . Для этого прежде всего заметим, что квадрат абсолютного значения функции  можно записать как

.                 (5.41)

Используя формулу (5.36), получаем

.                  (5.42)

Во второй строке этого равенства мы обозначили

,                      (5.43)

где

.                   (5.44)

Соотношение (5.43) говорит о том, что функция  получается из функции  в результате интегрирования, выполненного с помощью соответствующего величине  линейного интегрального оператора . Соотношения, подобные (5.43), часто символически записываются в виде

,                     (5.45)

где символом  обозначен линейный оператор, действующий на функцию . В данном случае  означает операцию, которую следует выполнить в правой части соотношения (5.43), т. е. умножение на функцию  и интегрирование. Оператор  сопоставлен физической величине . Используя эти обозначения, можно написать

.                   (5.46)

Задача 5.8. Отметим, что из формулы (5.44) следует равенство . Принимая во внимание этот факт, покажите, что для любых двух волновых функций  и , каждая из которых стремится к нулю, когда ,

.             (5.47)

Всякий оператор, подобный , для которого имеет место равенство (5.47), называется эрмитовым [ср. равенство (4.30)].

Задача 5.9. Преобразующая функция перехода от пространственного к импульсному представлению имеет вид

                (5.48)

(см. задачу 5.6). В качестве физической величины  выберем -компоненту импульса . Покажите, что функция  имеет вид

,                       (5.49)

где . Используя этот результат, определите оператор, соответствующий -компоненте импульса, и покажите, что ожидаемое значение этой компоненты можно записать как

.                  (5.50)

Задача 5.10. Предположим, что величина  является пространственной координатой . Покажите, что правильная формула для среднего значения  получается в том случае, если функция  выбрана в виде

,               (5.51)

а оператор, соответствующий координате , представляет собой просто умножение на , т. е.

.                     (5.52)

Собственные функции и собственные значения. Действие оператора  на волновые функции , определенные в § 2 гл. 5, имеет очень простой вид:

.              (5.53)

Задача 5.11. Докажите справедливость этого соотношения. В том случае, когда функция  удовлетворяет уравнению, подобному (5.53), мы будем говорить, что  является собственной функцией оператора , соответствующей его собственному значению .

Если две физические величины измеримы одновременно, то операторы, соответствующие этим величинам, например  и , будут удовлетворять некоторому интересному соотношению, а именно . Это значит, что результат последовательного действия двух операторов не зависит от того, в каком порядке они расположены. Тогда говорят, что операторы коммутируют друг с другом:

.

Вообще говоря, мы не можем ожидать, что два любых оператора коммутируют, однако в данном частном случае это имеет место. Причина заключается в том, что физические величины  и  являются измеримыми одновременно; они могут составлять часть набора измеримых величин , соответствующих одной и той же характеристической функции . Если в уравнении (5.53) оператор  поместить перед оператором , а величину  поставить перед , то равенство не нарушится, так что

.                (5.54)

Это справедливо, поскольку  и  - обычные числа, а не операторы. Точно так же

.                (5.55)

Сравнение этих двух равенств доказывает коммутативность операторов  и , когда они действуют на какую-либо из функций . Так как оба эти оператора линейны (т. е. не содержат операций, требующих учета высших степеней функции ), то соотношение коммутации должно выполняться для любой линейной комбинации функций .

Если -функции образуют «полный набор» (что является для них типичным), то в общем случае любую функцию мы можем представить в виде суммы таких линейных комбинаций. Следовательно, если операторы  и  дают один и тот же результат при действии на произвольную функцию, это означает, что операторы  и  коммутируют.

Задача 5.12. Покажите, что пространственную координату  и -компоненту импульса  нельзя измерить одновременно.

Возможны ситуации, когда набор коммутирующих операторов  уже известен и требуется найти функции, которые им соответствуют (т. е. их собственные функции). Для этого нужно найти решения уравнений

, , , ….              (5.56)

Предположим, например, что операторы -й, -й и -й компонент импульса ,  и  определены соответственно как , , . Спрашивается, каковы собственные функции этого набора операторов, соответствующие состоянию, в котором  имеет значение ,  - значение , а  - значение ?

(Числа  являются здесь, конечно, собственными значениями.) Для этого мы должны решить уравнения

.                        (5.57)

С точностью до произвольного постоянного множителя решение этих уравнений имеет вид . Это согласуется с полученными выше выводами о том, что частица, имеющая данный импульс , описывается волновой функцией .

Разложение по собственным функциям оператора энергии. Различные выражения, содержащие собственные функции , могут быть теперь истолкованы гораздо полнее. Рассмотрим, например, разложение (4.59) ядра  в ряд по функциям , являющимися решениями уравнения Шредингера с постоянным гамильтонианом:

.                (5.58)

Прежде всего заметим, что функция  является амплитудой вероятности обнаружения системы в положении , если известно, что она находится в состоянии . Поэтому в соответствии с нашими рассуждениями в § 2 гл. 5 сопряженная ей функция  является амплитудой вероятности найти систему в состоянии , если она занимает положение . На основе этого попробуем интерпретировать выражение (5.58) следующим образом. Амплитуда вероятности перехода из положения 1, соответствующего моменту времени , в положение 2 в момент времени  выражается в виде суммы по всем возможным состояниям. В данном случае эти возможные состояния будут различными энергетическими состояниями, в которых может происходить переход. Следовательно, мы должны просуммировать по всем этим состояниям произведение следующих членов: 1)  - амплитуды вероятности найти систему в точке , если известно, что она находится в состоянии ; 2)  - амплитуды вероятности найти систему в состоянии  в момент времени , если в момент времени  она была в состоянии ; 3)  - амплитуды вероятности найти систему в точке , если мы знаем, что она находится в состоянии .

Задача 5.13. Обсудите возможность интерпретации функции  как функции , рассмотренной в § 2, т. е. покажите, что функция  является преобразующей функцией для перехода от -представления к представлению, определяемому числом  (так называемому энергетическому представлению).