§ 4. Волновая функция

Мы уже построили амплитуду вероятности того, что частица достигнет некоторой определенной точки пространства и времени, тщательно прослеживая ее движение, в результате которого она попадает в эту точку. Однако часто бывает полезно рассматривать амплитуду перехода в точку пространства без всякого обсуждения предшествующего движения. Поэтому будем обозначать через  полную амплитуду вероятности перехода в точку  из некоторого (возможно, неопределенного) прошлого. Такая амплитуда обладает теми же самыми вероятностными свойствами, что и изученные уже нами амплитуды, т. е. вероятность найти частицу в точке  в момент времени  равна . Эту разновидность амплитуды будем называть волновой функцией. Различие между этой амплитудой и изученными ранее заключается лишь в способе обозначения. Каждому часто приходится слышать: система находится в «состоянии» . Это лишь выражение другими словами того, что система описывается волновой функцией .

Таким образом, ядро  фактически представляет собой волновую функцию. Это ядро есть амплитуда вероятности попасть в точку . Запись  содержит больше информации, в частности, указывает, что эта амплитуда соответствует конкретному случаю, когда частица приходит из точки . Возможно, для некоторых задач такая информация не представляет интереса, так что сохранять ее нет смысла. Тогда мы будем применять для волновой функции обозначение .

Так как волновая функция является амплитудой, она удовлетворяет правилам, по которым складываются амплитуды последовательных во времени событий. Так, поскольку соотношение (2.31) справедливо для любых точек , волновая функция удовлетворяет интегральному уравнению

.             (3.42)

Этот результат можно сформулировать на физическом языке. Полная амплитуда перехода в точку  [т. е. ] представляет собой сумму, или интеграл, по всем возможным значениям  от произведения полной амплитуды перехода в точку  [т. е. ] на амплитуду перехода из точки 3 в точку 2 [т. е. ]. Это означает, что влияние всей предыдущей истории частицы может быть выражено всего лишь через одну функцию. Даже если бы мы забыли все, что знали о частице, кроме ее волновой функции в некоторый определенный момент времени, тем не менее могли бы предсказать все, что будет происходить с этой частицей в дальнейшем. Влияние всей предыдущей истории на будущее Вселенной могло бы быть получено из одной всеобъемлющей волновой функции.

Задача 3.4. Пусть в момент времени  свободная частица имеет некоторый определенный импульс [т. е. ее волновая функция равна ]. Покажите с помощью соотношений (3.3) и (3.42), что в некоторый более поздний момент времени частица имеет тот же импульс [т. е. что волновая функция зависит от  через экспоненту ] и изменяется в зависимости от времени как . Это означает, что частица обладает определенной энергией .

Задача 3.5. Используя результаты решения задачи (3.2) и соотношение (3.42), покажите, что волновая функция удовлетворяет уравнению

,             (3.43)

которое является уравнением Шредингера для случая свободной частицы.