§ 4. Рассеяние электрона на атоме

Математическое рассмотрение. Идею метода и формулы теории возмущений мы рассмотрели пока несколько формально. Чтобы выяснить физический смысл этой теории, рассмотрим теперь конкретную задачу о рассеянии быстрого электрона на атоме.

Рассмотрим эксперимент, в котором пучок электронов бомбардирует мишень из тонкой металлической фольги, а затем попадает на соответствующий счетчик, как это показано на фиг. 6.4.

Фиг. 6.4. Эксперимент с рассеянием электронов.

Электроны, испаряющиеся с электрода в точке , собираются в пучок с помощью коллимирующих отверстий в экранах  и  и бомбардируют далее мишень из тонкой фольги в точке . Большая часть электронов проходит по прямой без рассеяния (если, конечно, их энергия достаточно велика, а мишень достаточно тонкая), но некоторые электроны отклоняются при взаимодействии с атомами мишени и рассеиваются, например, под углом  в точку . Если счетчик в точке  перемещать вверх и вниз, можно установить зависимость между относительным числом рассеяний и углом рассеяния .

Предположим, что энергия рассеивающихся частиц определяется методом измерения времени пролета. Это означает, что мы фиксируем электрон, вылетающий из источника в некоторый момент времени, скажем , и определяем, какова вероятность того, что он попадает в счетчик через некоторый промежуток времени, равный времени задержки . Тогда можно непосредственно использовать наше выражение , полученное для амплитуды перехода из одного положения в другое за некоторый определенный промежуток времени.

Можно упростить задачу, предположив, что взаимодействие является настолько слабым или фольга настолько тонкой, что каждый электрон будет взаимодействовать, как правило, лишь с одним атомом. Фактически для большинства экспериментов с рассеянием это предположение является весьма реальным. Более того, в целом ряде случаев многократное рассеяние также можно анализировать на основе простого однократного рассеяния на одном атоме. Поэтому мы ограничимся рассмотрением взаимодействий между отдельными электронами и каким-то одним атомом.

Выберем начало координат в центре атома. Пусть в этой системе, как показано на фиг. 6.5, электроны выходят из точки  в момент времени . С помощью счетчика, помещенного в точку , мы узнаем, достигнет ли электрон точки  в момент времени . Будем приближенно считать, что

1) взаимодействие может быть рассмотрено в первом борновском приближении, т. е. электрон рассеивается на атоме только один раз;

2) атом может быть представлен с помощью потенциала , фиксированного в пространстве и постоянного во времени.

Фиг. 6.5. Геометрия задачи с рассеянием.

Электрон выходит из точки  и движется как свободная частица до точки , где он рассеивается атомным потенциалом . После рассеяния он попадает в счетчик, расположенный в точке  на конце радиуса-вектора , проведенного от рассеивающего центра . В этом случае электрон будет рассеян на угол , отсчитываемый от начального направления пучка. Этот процесс соответствует первому борцовскому приближению. Если учесть амплитуды двух актов рассеяния, то получим второе борцовское приближение, и т. д.

На самом деле атом является очень сложной системой, и взаимодействие между электроном и атомом в действительности гораздо сложнее, чем это может быть представлено простым потенциалом . Электрон может возбудить или ионизовать атом и потерять при этом часть энергии. Можно показать, однако, что когда мы рассматриваем только упругие столкновения электрона с атомом (атом после столкновения остается в том же самом энергетическом состоянии, что и до столкновения), то второе предположение будет выполняться, если выполнено первое предположение.

Пусть  и  - векторы, соединяющие центр атома с точками, в которых электрон соответственно испускается и регистрируется. В расчетах мы примем, что длина векторов  и  много больше радиуса атома. Таким образом, мы предполагаем, что атомный потенциал  становится пренебрежимо малым на расстояниях, много меньших, чем  и . Следовательно, большую часть времени пролета электрон будет двигаться как свободная частица и только вблизи начала координат он испытает действие потенциала.

Первое борновское приближение содержит два члена, из которых нас будет интересовать лишь второй. Первый член, являющийся ядром  для случая свободной частицы, был уже достаточно подробно нами изучен. Мы интересуемся вторым членом

.     (6.28)

Через  мы обозначили здесь вектор, соединяющий начало координат с точкой ,  - произведение дифференциалов всех компонент вектора . Интегрирование по переменной  дает

,                      (6.29)

где  и  (см. приложение). Для этих величин мы можем написать

,                 (6.30)

,                  (6.31)

где  и  - единичные векторы соответственно в направлениях векторов  и  (т. е. , где ). При выводе приближенных соотношений (6.30) и (6.31) мы воспользовались тем фактом, что величина  намного больше тех расстояний , на которых нельзя пренебрегать потенциалом .

Члены первого порядка по  необходимо удержать лишь в экспоненциальном множителе, поскольку этот множитель особенно чувствителен к малым изменениям фазы. Поэтому мы запишем

.              (6.32)

Используя эти приближения, ядро  можно теперь представить в виде

                    (6.33)

Физическая интерпретация. Из анализа соотношения (6.33) мы можем получить некоторые физические характеристики движения. За промежуток времени  электрон проходит полное расстояние, равное . Следовательно, его скорость в течение этого промежутка времени составляет , его энергия равна , а импульс равен . При этом мы предполагаем, что энергия электрона не изменяется в процессе рассеяния. То, что эти значения скорости, энергии и импульса совместимы друг с другом, можно проверить, рассмотрев вид экспоненциального множителя перед интегралом в формуле (6.33). Фаза этого экспоненциального фактора равна , поэтому частота, определяемая производной этой фазы по переменной , составляет

.               (6.34)

Если скорость  определена так, как это сделано выше, то энергия будет равна  [ср. соотношение (3.15)].

Дифференцирование фазы по переменной  дает волновое число в точке

,                      (6.35)

а это значит, что величина импульса равна  [ср. соотношение (3.12)].

Задача 6.5. Интеграл по переменной  в формуле (6.28) можно аппроксимировать, используя метод стационарной фазы. Рассмотрите этот метод на примере данного интеграла; покажите, что наибольший вклад в интеграл дают значения  из области, близкой к точке  и представляющей собой время, за которое электрон должен был бы достигнуть центра атома, если бы он двигался по классическим законам.

Используя определение скорости электрона , запишем вектор импульса входящей частицы  в виде

,                 (6.36)

а вектор импульса выходящей частицы  - как

.                 (6.37)

Тогда соотношение (6.33) можно представить в виде

. (6.38)

Обозначим далее изменение (или передачу) импульса через

и введем величину

.                  (6.39)

Вероятность того, что электрон достигнет точки , дается квадратом модуля ядра  и, следовательно, будет зависеть в основном от первого члена разложения этого ядра, т. е. от величины , которая, по-видимому, настолько велика, что полностью перекрывает малый возмущающий член .

Поэтому в большинстве экспериментов по рассеянию обычно коллимируют входящий пучок соответствующими экранами, с тем чтобы те электроны, которые не рассеиваются на атомах мишени, не выходили бы за пределы ограниченной области вдоль некоторого направления, как это показано на фиг. 6.6. Конечно на таких коллимирующих экранах будет происходить дифракция (как это уже обсуждалось нами в гл. 3, § 2 и 3), и вне области центрального пучка будет наблюдаться некоторое число нерассеянных электронов. Однако коллиматоры можно установить таким образом, чтобы для точек, достаточно удаленных от оси коллимации, число дифрагировавших на коллиматоре электронов было бы очень мало по сравнению с числом электронов, рассеянных на атомах мишени.

Фиг. 6.6. Принципиальная схема фокусировки для исключения влияния члена нулевого порядка в точке .

В этом случае из точки  в точку  с заметной вероятностью могут прийти лишь те электроны, которые испытывают хотя бы одно рассеяние. Поэтому член нулевого порядка в разложении  в ряд теории возмущений будет вносить лишь пренебрежимо малый вклад и его можно отбросить. Вклад возникает за счет члена первого порядка .

Тогда вероятность обнаружения электрона в такой области, по крайней мере в первом порядке теории возмущений, определяется только квадратом модуля ядра . Используя соотношения (6.38) и (6.39), запишем эту вероятность как

.                (6.40)

Характерные особенности атомного потенциала и зависимость ядра от относительных направлений векторов  и  заключены в этой формуле в множителе . Этот множитель совершенно не зависит от размеров экспериментального устройства; их влияние учитывается остальной частью формулы (6.40). Например, множитель , как легко видеть, обусловлен тем, что вероятность столкновения электрона с атомом убывает обратно пропорционально . Может показаться, что в применении к рассматриваемому эксперименту это утверждение спорно из-за наличия коллиматоров. Однако эффект коллимации пренебрежимо мал на расстояниях порядка атомных размеров; по отношению к атому-мишени пучок налетающих электронов состоит из частиц, изотропно испускаемых некоторым точечным источником. Точно так же изотропно по всем направлениям от рассеивающего атома разлетаются и рассеянные электроны. Поэтому отнесенная к единице объема вероятность регистрации электрона в точке  изменяется обратно пропорционально . Поскольку наиболее интересные свойства рассматриваемого эксперимента связаны с функцией , мы уделим этой функции особое внимание в следующем параграфе.

Часть сомножителей в формуле (6.40) определяется выбором способа нормировки нашего ядра. Поэтому формулу (6.40) более удобно рассматривать и представлять в виде некоторого отношения вероятностей. Сравним вероятность обнаружения рассеянной частицы в точке  с вероятностью ее обнаружения в точке , если точки  и  расположены за атомом на одинаковом расстоянии  от источника (фиг. 6.7). Другими словами, рассчитаем отнесенную к единице объема вероятность  так, как если бы на пути частицы не было ни одного атома. Это даст нам величину , т. е.

,                       (6.41)

так что

.                       (6.42)

В § 5 мы дадим геометрическую интерпретацию этого отношения и более детально рассмотрим функцию .

Фиг. 6.7. Сравнение точек  и .

Если точки  и  находятся на одинаковых расстояниях от точки , равных , то различие в числе электронов, попадающих в эти точки, будет обусловлено лишь процессом рассеяния. Точка  лежит на пути движения нерассеявшихся электронов. Отношение числа электронов, попавших в точку , к числу электронов, которые достигли бы точки , если бы на их пути не было рассеивающего центра, равно вероятности рассеяния в точку .

Эффективное сечение рассеяния. Характеристики атома в экспериментах с рассеянием удобно описывать с помощью понятия эффективного сечения рассеяния. Привлекательность такого подхода обусловлена нашей привычкой к представлениям классической физики. Эффективное сечение  определяется как та эффективная площадь атома-мишени (в классическом смысле этого слова), которую должен иметь перед собой электрон, чтобы рассеяться в единичный телесный угол. Этот телесный угол измеряется относительно сферы, центр которой совпадает с центром атома. Эффективное сечение будет поэтому функцией угла рассеяния, т. е. функцией угла между векторами  и . С помощью такой классической модели мы можем выразить вероятность попадания электрона в заданную точку .

Если частицы, вылетающие из начала координат, сталкиваются на расстоянии  с мишенью площадью , то эти частицы уже не попадут в область , где они имели бы разброс в круге с площадью . Вместо этого они полетят в телесном угле  в направлении  и будут, следовательно, иметь разброс по площади , как показано на фиг. 6.8. Поэтому отношение вероятности попадания частицы в точку  к вероятности ее попадания в точку , на пути к которой не было соударений, равно обратному отношению этих площадей:

.              (6.43)

Сравнивая выражения (6.42) и (6.43), мы видим, что эффективное сечение рассеяния в единицу телесного угла есть

.                     (6.44)

Фиг. 6.8. Частицы бомбардируют площадку  мишени и отклоняются на угол , попадая на площадку, измеряемую телесным углом .

Если бы не произошло ни одного соударения, все частицы попали бы в точку . Вместо этого они попадают в точку , разбрасываясь по площади . Вероятность обнаружить частицу в точке  обратно пропорциональна площади, по которой распределится пучок в точке .

Аналогично вероятность обнаружения частицы в точке  обратно пропорциональна площади , по которой распределится пучок рассеявшихся частиц, когда они долетят до точки . Если взять отношение этих площадей, то получим обратную величину отношения соответствующих вероятностей. С этой точки зрения мы говорим, что все частицы, которые попадают на мишень площадью , рассеиваются на угол . В действительности, конечно, только немногие из частиц, попадающих на мишень, вообще рассеиваются и только часть из них - на угол . Итак, элемент площади , который мы использовали в наших расчетах, есть эффективное поперечное сечение рассеяния на угол , отнесенное к единице телесного угла , в которой рассеиваются частицы.

Основное преимущество такого применения понятия эффективного сечения по сравнению с рассмотренным выше соотношением (6.40) заключается в том, что выражение (6.44) не зависит от конкретных экспериментальных условий. Поэтому эффективные сечения, полученные из разных экспериментов, можно сравнивать непосредственно, тогда как для вероятностей, отнесенных к единице объема, такое сравнение невозможно.

Следует подчеркнуть, что понятие эффективной мишени является чисто классическим и представляет собой лишь удобный способ рассмотрения вероятностей рассеяния. Между величиной эффективного сечения и размерами рассеивающего атома не существует прямой связи и нельзя представлять себе, что механизм рассеяния локализован в области именно таких размеров. Например, тень, которая при классическом рассмотрении должна появиться позади мишени, на самом деле вовсе не будет обладать свойствами классической тени с резкими границами; так как мы имеем дело с волновым процессом, то эта тень будет искажена дифракцией.

Различные выражения для атомного потенциала. На примере конкретных задач здесь показаны результаты, полученные при различных предположениях о виде атомного потенциала .

Задача 6.6. Пусть мы имеем потенциал, соответствующий центральным силам, т. е. . Покажите, что функция  может быть записана в виде

.                  (6.45)

Если допустить, что  является кулоновским потенциалом , то интеграл в выражении для  оказывается осциллирующим вблизи верхнего предела, т. е. при . Тем не менее такой интеграл можно сделать сходящимся с помощью искусственного введения в подынтегральное выражение множителя  и после вычисления интеграла перейти к пределу при . Используя этот прием, покажите, что в итоге получается сечение резерфордовского рассеяния

,                (6.46)

где  - заряд электрона,

,                  (6.47)

а  - угол между векторами  и .

Результат, полученный в задаче 6.6, случайно оказывается точным в том смысле, что первое борновское приближение дает точную величину вероятности рассеяния на кулоновском потенциале. Это не означает, что члены высшего порядка обратятся в нуль; дело в том, что они вносят вклад лишь в фазу амплитуды рассеяния. Поскольку вероятность равна квадрату модуля амплитуды, она не зависит от фазы. Таким образом, первое борновское приближение дает правильное значение вероятности рассеяния, но не является точным выражением для амплитуды. Случай кулоновского рассеяния любопытен еще и по ряду других причин. В частности, строго классическое (т. е. проделанное в предположении, что электрон ведет себя как заряженная точечная масса) исследование этого рассеяния приводит к тому же самому результату.

Задача 6.7. Предположим, что потенциал  создается зарядом, распределенным с плотностью , так что

.              (6.48)

Пусть плотность  спадает до нуля при . Умножая соотношение (6.48) на  и дважды интегрируя по переменной , покажите что функция  может быть следующим образом выражена через плотность :

.              (6.49)

Атом можно описать, используя понятие плотности заряда. В области атомного ядра эта плотность заряда предполагается сингулярной, так что ее можно представить в виде -функции от расстояния  с коэффициентом , равным заряду ядра. Если  - плотность атомных электронов, то функция  в этом случае запишется как

.                (6.50)

Величину в скобках принято называть атомным формфактором. (Заметим, что точно с таким же формфактором мы встречаемся при изучении рассеяния рентгеновских лучей. Действительно, в теории рассеяния рентгеновских лучей доказано, что в этом случае основную роль играют атомные электроны, а не ядро. Поэтому формфактор для рентгеновских лучей будет тем же самым, что и в случае рассеяния электронов на атоме, если не считать того, что для рентгеновских лучей не нужно учитывать фактор .)

В атоме потенциал изменяется по кулоновскому закону лишь при очень малых радиусах. С увеличением радиуса атомные электроны начинают постепенно экранировать (компенсировать) электрический заряд ядра до тех пор, пока при достаточно больших значениях  потенциал не обратится в нуль. В очень грубом приближении эффект экранировки атомными электронами можно оценить с помощью формулы

.                (6.51)

Через  в этой формуле обозначен радиус атома. Заметим, что это не тот внешний радиус атома, которым пользуются химики; здесь , где .

Задача 6.8. Покажите, что для потенциала (6.51)

               (6.52)

и, следовательно,

.                (6.53)

Полное эффективное сечение  определится как интеграл от сечения  по поверхности единичной сферы, т. е.

.            (6.54)

Покажите, что это сечение имеет вид

.                       (6.55)

Задача 6.9. Пусть мы хотим учесть тот факт, что атомное ядро имеет конечный радиус

 см                   (6.56)

в предположении, что заряд ядра распределен приблизительно равномерно внутри сферы такого радиуса. Спрашивается, как это предположение повлияет на эффективное сечение рассеяния электронов на атоме в области больших передач импульса ?

Покажите, каким образом отсюда может быть определен радиус ядра. Насколько велика должна быть величина импульса налетающих электронов , чтобы стало заметным влияние структуры атомного ядра? Какие углы, большие или малые, следует при этом измерять более точно и почему?

Замечание. В эксперименте такого рода требуются настолько большие импульсы электронов, что для нахождения энергии фактически нужно пользоваться релятивистской формулой , поэтому, строго говоря, для описания взаимодействия мы уже не имеем права применять нерелятивистские формулы. Однако соотношение между импульсом и длиной волны и между энергией и частотой не изменяются при переходе в релятивистскую область. Поскольку это именно та длина волны, которая определяет разрешающую силу такого «электронного микроскопа», то использование (без конкретного вычисления импульса) нерелятивистских формул является вполне законным.

Задача 6.10. Рассмотрим двухатомную молекулу, состоящую из атомов  и , центры которых задаются векторами  и . Используя борновское приближение, покажите, что амплитуда рассеяния электрона на такой молекуле

,                        (6.57)

где  и  - амплитуды рассеяния электрона на отдельных атомах при допущении, что каждый из этих атомов располагался бы в начале системы координат. Межатомные связи слабо влияют на распределение заряда вокруг ядер (за исключением очень легких атомов, таких, как водород), так как силы этих связей действуют лишь на самые внешние электроны атомных оболочек.

Используя соотношение (6.57), покажите, что вероятность рассеяния при заданном значении передаваемого импульса  пропорциональна сумме , где .

Вычисленные в борновском приближении амплитуды являются действительными величинами и применимы для тех энергий электронов (порядка 1 кэв), которые обычно используются в дифракционных опытах с молекулами. Однако если молекула состоит из очень тяжелых атомов, таких, как уран, то атомный потенциал  становится настолько большим, что борновское приближение оказывается уже недостаточно точным для описания экспериментов. В этом случае необходимо внести небольшие поправки.

Задача 6.11. Предположим, что молекулы ориентированы совершенно случайным образом. Покажите, что эффективное сечение рассеяния электронов, усредненное по совокупности таких молекул, пропорционально сумме . Как обобщить этот результат на случай многоатомных молекул?

Все эти результаты лежат в основе электронной дифракционной техники, позволяющей определять форму различных молекул.

Задача 6.12. В предположении о независимости потенциала  от времени покажите, что интегрирование по времени в выражении для ядра , описывающем рассеяние во втором порядке теории возмущений, приводит к формуле

                    (6.58)

где точки , ,  и  расположены так, как это показано на фиг. 6.9; величина  равна расстоянию между точками  и  и т. д. Полагая, что потенциал  становится пренебрежимо малым на расстояниях, небольших по сравнению с  и , покажите, что эффективное сечение дается формулой , где  - амплитуда рассеяния, содержащая лишь члены первого приближения:

   (6.59)

Здесь  - импульс электрона, вылетающего в направлении , а  - импульс электрона, движущегося в направлении . Абсолютная величина импульса равна , и она почти не меняется при упругом рассеянии электрона на относительно тяжелом атоме.

Фиг. 6.9. Учет членов второго порядка в разложении теории возмущений.

Как на фиг. 6.2 (случай 3), здесь изображено рассеяние электрона атомным потенциалом в двух различных точках. Электрон выходит из точки  и движется как свободная частица до точки , где он рассеивается; после этого электрон снова движется как свободная частица до точки , где происходит еще одно рассеяние, и далее снова продолжается свободное движение вплоть до точки , где электрон попадает в счетчик. Точки  и  могут находиться в любом месте пространства. Атомный потенциал в этих точках зависит от длин радиусов-векторов  и , измеряемых от центра атома .

Можно было бы ожидать, что, когда борновское приближение становится недостаточно точным, имеет смысл вычислять в качестве поправки члены второго порядка и т. д. Но на практике оказывается, что в выражениях типа (6.59) мы встречаемся с весьма медленно сходящимися рядами. Если второй член дает сравнительно заметную поправку (например, ~10%), то каждый следующий член даст ненамного меньший вклад, так что получить существенное улучшение результата довольно нелегко. Конечно, в задачах, где погрешности борновского приближения сравнительно малы (скажем, меньше 1%), учет второго члена является вполне хорошим способом вычисления поправок.

Описание рессеяния с помощью волновой функции. В рассмотренных выше экспериментах по рассеянию мы предполагали, что в начальном состоянии электрон был свободной частицей с импульсом . Предполагалось также, что величину этого импульса можно определить методом измерения времени пролета (т. е. по полному времени , необходимому для прохождения расстояния ).

Конечно, не обязательно использовать именно этот способ; нас вполне удовлетворит любое устройство, которое позволит определять величину импульса. Поэтому обобщим рассмотренную картину процесса рассеяния, воспользовавшись понятием волновой функции.

Допустим, нам известно, что влетающий электрон имеет импульс  и энергию . Следовательно, волновая функция налетающих электронов

.                       (6.60)

Использовав теперь два первых члена соотношения (6.25), мы можем в первом приближении теории возмущений записать следующее выражение для волновой функции вылетающих электронов:

.                    (6.61)

Первый член в этом выражении представляет собой дебройлевскую волну свободных частиц, которые проходят область действия потенциала, не рассеявшись. Второй член - амплитуда рассеянных электронов. Если обозначить его через , то эта функция опишет рассеянную волну.

Задача 6.13. Предположим, что потенциал  в действительности не зависит от времени . Подставив в формулу (6.61) выражение ядра , соответствующее движению свободных частиц, и проинтегрировав полученный результат по переменной , покажите, что

,                       (6.62)

где  - расстояние от конечной точки  до переменной точки интегрирования , а  - абсолютная величина импульса электрона.

Предположив снова, что на небольших по сравнению с  и  расстояниях потенциал спадает до нуля, покажите, что выражение (6.62) может быть записано как

,             (6.63)

где амплитуда рассеяния  следующим образом выражается через функцию :

                      (6.64)

[см. соотношение (6.35)].

Последний член формулы (6.63), функцию , можно рассматривать как пространственную часть волновой функции рассеянных частиц. Она имеет вид сферической волны, расходящейся из центра рассеивающего атома. Для каждого определенного угла рассеяния амплитуда этой волны зависит от угла через функцию , которая, как видно из формулы (6.64), изменяется в зависимости от величины передаваемого импульса . Таким образом, полная волновая функция электронов после рассеяния может рассматриваться как сумма двух членов. Первый член представляет собой плоскую волну нерассеянных электронов , второй член - сферическую волну рассеянных электронов, как показано на фиг. 6.10. Используя такой подход, выведите формулу для эффективного сечения .

Фиг. 6.10. Рассеяние электронного пучка на атомном ядре.

Пучок электронов можно представить в виде эквивалентной ему плоской волны, движущейся по направлению к атомному ядру, расположенному в точке . Правее этой точки большая часть пучка будет по-прежнему двигаться как невозмущенная плоская волна с импульсом . Меньшая часть пучка рассеивается на ядре и расходится от точки  в виде сферической волны. Поэтому суммарная интенсивность (т.е. число электронов) в некоторой точке , определяемой радиусом-вектором , состоит из двух частей. Одна из них представляет собой нерассеянный пучок, описываемый плоской волной . Вторая - это рассеянная сферическая волна  с зависящей от углов амплитудой . Комбинация этих двух волн определяет пространственную часть волновой функции пучка электронов после рассеяния.

Задача 6.14. С помощью метода, основанного на использовании волновых функций, рассмотрите рассеяние электрона на синусоидально осциллирующем поле, потенциал которого имеет вид

.             (6.65)

Покажите, что в первом борновском приближении энергия расходящейся волны изменяется на величину, равную . Что дадут члены высших порядков?