§ 1. Простой гармонический осциллятор

Решение уравнения Шредингера. В этом параграфе мы получим ряд соотношений, описывающих простой одномерный гармонический осциллятор. Начнем наше рассмотрение с уравнения Шредингера. В задаче 2.2 мы получили лагранжиан одномерного гармонического осциллятора в виде

.               (8.2)

Соответствующий гамильтониан, который используется в дальнейшем рассмотрении, запишется как

,                (8.3)

и можно написать волновое уравнение

.             (8.4)

Поскольку гамильтониан не зависит от времени, то переменные в волновом уравнении легко разделяются и мы получаем решение в виде стоячих волн для состояний с определенными энергиями . Часть решения, зависящая от времени, будет пропорциональна .

Вспомнив, что оператор импульса  соответствует дифференцированию по  (см. § 5 гл. 7), представим уравнение Шредингера для пространственной части волновой функции в виде

,                      (8.5)

Это уравнение легко решить; результат такого решения приводится во многих книгах по квантовой механике (например, [2]). Собственные значения энергии здесь равны

,                   (8.6)

где  принимает целые значения 0, 1, 2, …. Собственные функции  имеют вид

,                    (8.7)

где  - полиномы Эрмита

             (8.8)

Эти полиномы легче всего вычисляются с помощью производящей функции

.                     (8.9)

Все эти результаты можно было бы получить и другим путем. Так, например, функции  мы нашли при решении дифференциального уравнения в частном случае, когда гамильтониан не зависит от времени. Однако нам уже известно решение и для случая с временной зависимостью; отсюда можно получить и эти функции непосредственным образом. Было бы весьма поучительно провести такой вывод, с тем чтобы проиллюстрировать некоторые из формул, выведенных в предыдущих главах.

Решение, полученное из рассмотрения ядра. В задаче 3.8 мы получили ядро, описывающее движение осциллятора; с другой стороны, из уравнения (4.59) известно, что это ядро может быть разложено в ряд по экспонентам, зависящим от времени и умноженным на произведения собственных функций от энергии, т. е.

         (8.10)

Используя соотношения

             (8.11)

левую часть равенства (8.10) можно записать как

.                       (8.12)

Ряд, имеющий вид правой части равенства (8.10), получится, если разложить выражение (8.12) в ряд по степеням функции . Так как первый коэффициент здесь равен , то все члены этого разложения будут иметь вид , где , а это означает, что уровни энергии определяются выражением

.                   (8.13)

Однако для того, чтобы найти волновые функции, необходимо выполнить разложение полностью. Проиллюстрируем этот метод решения на примере . Разлагая левую часть равенства (8.10) до членов указанного порядка, получаем

              (8.14)

или

                      (8.15)

Теперь мы можем выделить коэффициент при члене низшего порядка. Он равен

.                        (8.16)

Это означает, что  и

.                        (8.17)

Мы выбрали в качестве  действительную функцию. Можно было бы выбрать и комплексную функцию, включив множитель  (где  константа), однако это не даст ничего нового для физической интерпретации результата.

Член следующего порядка в разложении равен

.                     (8.18)

Отсюда следует, что  и

.                       (8.19)

Следующий член соответствует энергии . Его часть, зависящая от  и , равна

;                  (8.20)

это не что иное, как произведение функций . Так как выражение в скобках может быть переписано как

,                      (8.21)

то мы получим функцию  в виде

.                 (8.22)

Результаты эти можно сравнить с результатами в соотношениях (8.7) и (8.8), полученными из решения волнового уравнения.

В принципе таким способом можно найти все волновые функции. Однако здесь мы встречаемся с трудной алгебраической задачей отыскания общего вида функций  непосредственно из разложения. Другой путь, обходящий эту трудность, показан в следующей задаче.

Задача 8.1. Заметим, что амплитуда перехода из любого состояния  в другое состояние  равна амплитуде перехода , как это определено в соотношении (7.1).

Пусть  и  могут быть разложены в ряд по ортогональным функциям  - решениям волнового уравнения, связанного с ядром , подобно тому как это делалось в § 2 гл. 4. Таким образом,

.             (8.23)

Используя коэффициенты  и  и соотношение (4.59), покажите, что амплитуду перехода можно представить в виде

.             (8.24)

Пусть теперь мы выбрали две такие функции  и , что для них разложение в правой части соотношения (8.24) является достаточно простым. Тогда после вычисления функций  можно получить некоторое представление о волновых функциях  из вида разложений (8.23). Предположим, что функции  и  мы выбрали следующим образом:

,                     (8.25)

.                      (8.26)

Эти функции представляют собой гауссовы распределения с центрами соответственно в точках  и . Обозначим их как  и . Определим амплитуду перехода , где  и  заданы соответственно выражениями (8.25) и (8.26), а ядро совпадает с ядром для случая гармонического осциллятора из выражения (8.1). Интеграл в формуле (8.24) преобразуем так, чтобы получить

                      (8.27)

Исходя из этого результата, покажите, что  и

.                     (8.28)

Подставляя полученный результат в формулу (8.24), напишите для  выражение, которое следует из соотношения (8.7), в предположении, что функции  нам неизвестны. Найдите для них отсюда производящую функцию (8.9).