§ 8. Функционалы влияния

Рассмотрим теперь поведение квантовомеханической системы, обобщенную координату которой мы будем обозначать через , во взаимодействии с другой системой, характеризуемой обобщенной координатой . Допустим, что все предполагаемые измерения должны проводиться в системе  и никакие прямые измерения не будут сделаны в системе . Например, мы интересуемся переходами в атоме, который находится в электромагнитном поле и может излучать. Тогда исследуем только состояние атома и не будем непосредственно измерять его излучение; в этом случае  - атомные координаты, a  - координаты поля. Если же мы проводим исследование иначе, т. е. наблюдаем только излучение атома, испускаемое, поглощаемое или рассеиваемое, но не измеряем никаких величин, непосредственно описывающих атом, то можно опираться на наш предыдущий анализ, причем теперь  - атомные координаты, a  - координаты электромагнитного поля. Если, например, нам хочется рассмотреть теорию коэффициента преломления, то  - снова переменные поля, а переменные  описывают тело, через которое проходит свет. В качестве еще одного примера предположим, что нужно исследовать поведение электрона в кристалле (или иона в жидкости), причем экспериментальные данные относятся только к положению заряда, но не к материалу кристалла. Например, можно было бы интересоваться током (или скоростью электронов), возникающим при определенных условиях, и не рассматривать его связи с числом индуцированных фононов. Тогда переменные  будут описывать электрон, а переменные  - все другие параметры вещества в кристалле.

Пусть  - действие для системы ,  - действие для окружающей среды, а  описывает взаимодействие между средой  и системой . Действие для всей системы равно сумме , а вероятность какого-либо события в такой сложной системе можно вычислить из двойного интеграла по траекториям, являющегося, очевидно, обобщением выражения (12.81), которое теперь запишется в виде

              (12.88)

Однако если нам не нужно измерять , а достаточно исследовать лишь зависимость от , то ответ запишется в форме

,            (12.89)

где функционал  мы назовем функционалом влияния. Этот функционал зависит от двух функций  и  и для рассматриваемой частной задачи выражается в виде

                   (12.90)

Сумма по  означает, что мы должны взять сумму по всем возможным конечным состояниям . Это связано с тем, что не проводится никаких измерений координат  и возможны все конечные состояния среды. Поэтому нужно сложить вероятности всех возможных процессов [т. е. все функции (12.88)]. Например, в координатном представлении  как раз подразумевает, что, начиная с некоторого момента времени , взаимодействие для нас больше не представляет интереса; мы должны взять  и проинтегрировать по всем .

Резюмируя, скажем, что поведение системы в любой среде можно описать с помощью двойных интегралов по траекториям, аналогичных интегралу (12.89), где функционал  отражает свойства среды - ее влияние на систему - и учитывает все связанные с этим изменения . Две различные окружающие среды  и , совершенно различные по своему физическому строению, тем не менее могут оказаться неразличимы по поведению системы , если с ними связан один и тот же функционал влияния . Функционал  - это нечто аналогичное внешним «силам», которые вводятся при классическом рассмотрении поведения одной из взаимодействующих систем. Мы можем изучать лишь движение системы , при условии что знаем зависимость от времени сил, действующих на нее со стороны среды. Ньютоновские уравнения движения для  представляют собой грубую аналогию выражения (12.89), тогда как выражение (12.90) соответствует учету сил, обусловленных средой. Две различные среды эквивалентны, если они одинаково действуют на . Естественно, это - очень грубая аналогия. Что касается функционала , то он описывает полное влияние среды, включая изменения в поведении самой среды из-за реакции со стороны . Это аналогично тому, как если бы при классическом рассмотрении нам были бы известны не только сами силы, но и их изменение во времени при любом возможном движении исследуемой системы . Силы воздействия среды, вообще говоря, зависят от движения , так как сама среда подвергается влиянию со стороны интересующей нас системы .

Таким образом, мы приходим к необходимости изучить свойства функционалов влияния. Составим список нескольких правил, определяющих такие свойства, и сформулируем некоторые допущения, при которых они получаются.

Правило I.

,               (12.91)

где значком  отмечено комплексное сопряжение.

Правило II. Если функции  и  выбраны равными для всех , больших любого , то  не зависит от фактических значений  для .

Правило III. Если  - функционал влияния для определенной среды  и мы фактически не знаем реального окружения системы, а знаем лишь, что вероятность найти систему в среде  равна , то эффективный функционал влияния (для расчета всех вероятностей)

.              (12.92)

Правило IV. Если система  одновременно взаимодействует с двумя внешними системами  и  и если системы  и  непосредственно не взаимодействуют между собой, а их начальные состояния никак не связаны, то

,               (12.93)

где  - функционал влияния для случая, когда с  взаимодействовала бы только одна система , и  - такой же функционал для системы .

Правило V. Если функционал  можно с достаточной точностью аппроксимировать выражением

,               (12.94)

то система ведет себя так же, как под влиянием классического потенциала , который вносит в действие вклад . Если же функционал имеет вид , где  - функционал произвольной формы, то окружение эквивалентно классическому случаю, однако с неопределенным потенциалом  [в этом случае  - характеристический функционал для распределения ].

Справедливость правила I очевидна непосредственно из выражения (12.90). Это же выражение объясняет также правило II, однако гораздо менее наглядным образом. Отметим, что для произвольной системы с некоторым определенным действием  при любом заданном начальном состоянии

.               (12.95)

Это следует из того, что интегралы и сумма по конечным состояниям  эквивалентны соотношению

                   (12.96)

[см. формулу (4.37)). Таким образом, если бы начальная волновая функция была , то, умножая, как это делалось в выражении (12.79), на  и интегрируя, мы получили бы

.                     (12.97)

Заметим теперь, что если в выражении (12.90) мы положим  для любого заданного  и всех значений , то получим выражение, в точности совпадающее с равенством (12.95), где полное суммарное действие равно

,

причем

,

что и требуется, пока . Следовательно,

.

Те же рассуждения, если их провести применительно к интервалу времени  и использовать соотношение, сходное с (12.96), но где ,  заменены соответственно на  и , показывают, что если  для , то зависимость  от  при  исчезает, так как правая сторона (12.96) при  не зависит от .

Правило III с очевидностью следует из того, что вероятности определяются суммированием всех возможных значений .

Правило IV вытекает из выражения (12.90), если в соответствии с условием действие в выражении (12.90) имеет вид

.

При этом экспоненциальная функция суммы превращается в произведение, дающее интегралы , если начальное состояние само представляется произведением волновых функций.

Правило V - это просто формулировка наших результатов, приведенных в соотношениях (12.82) и (12.85).

Мы рассмотрели некоторые общие свойства функционалов влияния. Связанные с ними расчеты используют различные методы вычисления интегралов по траекториям (12.89). Закончим этот параграф рассмотрением некоторых важных функционалов влияния.

Подобно тому, насколько простыми и важными оказываются гауссово распределение вероятности и гауссово распределение шума, настолько важны и функционалы влияния, содержащие координаты ,  в виде квадратичных форм в экспонентах; назовем их гауссовыми функционалами влияния.

Во-первых, если среда представляет собой систему гармонических осцилляторов в основном состоянии (или при заданной температуре), линейно связанных с рассматриваемой системой , то вычисление выражения (12.90) показывает, что  - гауссов функционал. Однако гауссовы функционалы влияния (подобно гауссовым вероятностям), дают хорошее приближение для гораздо более широкого класса задач, в которых эффект является суммарным результатом большого числа малых воздействий. Рассмотрим, например, атом, слабо взаимодействующий с большим числом атомов окружающего газа. Влияние каждого атома  очень мало, так что его функционал влияния  немногим отличается от единицы. Однако, согласно правилу IV, полный функционал  является произведением многих таких множителей и его можно аппроксимировать экспоненциальной функцией суммы всех малых вкладов. Разложение этого вклада с точностью до величины первого и второго порядков малости относительно взаимодействия с отдельным атомом приводит к функционалу влияния гауссова типа.

Как иллюстрацию этого заключения, рассмотрим влияние металлического образца, находящегося в объемном резонаторе. Это влияние можно просто, в линейной форме, выразить одной функцией импеданса, несмотря на всю сложность поведения электронов в металле. Функционал влияния металла  на объемный резонатор  близок к гауссову, и в этом смысле металл эквивалентен некоторой системе гармонических осцилляторов, которая приводила бы к тому же самому функционалу влияния.

Наиболее общий экспоненциальный функционал с линейной зависимостью от координат  и  имеет вид

,                 (12.98)

где  и  произвольные комплексные функции. Однако, чтобы оказаться функционалом влияния, он должен удовлетворять пяти перечисленным правилам. Правило I требует, чтобы , а из правила II следует , поэтому  и  должны быть равными и действительными величинами. Таким образом, согласно правилу V, самый общий линейный функционал эквивалентен действию классического внешнего потенциала.

Нет необходимости обсуждать этот простой случай далее; он анализируется до конца, если добавить член  к гамильтониану невозмущенной системы. Если в показателе экспоненты содержатся и квадратичный и линейный члены, то последний можно выделить в отдельный множитель, так что правило IV позволяет нам утверждать: в данном случае действует классический потенциал плюс эффект чисто квадратичного функционала.

Самый общий экспоненциальный функционал, квадратичный относительно своих аргументов, имеет вид

          (12.99)

с произвольными комплексными функциями , ,  и . (Эти функции достаточно определить только для .) Интегралы берутся здесь по всему интересующему нас интервалу времени, однако мы всегда выбираем ; это не ограничивает общности и удобно для дальнейшего анализа. Чтобы функционал оказался функционалом влияния, мы должны в соответствии с правилом I положить

                  (12.100)

и

.                  (12.101)

Правило II дает нам больше информации. Если положить  для  и , то выражение

,    (12.102)

составляющее часть равенства (12.99), не должно зависеть от  при произвольных значениях  в области  и  в области . Для этого необходимо, чтобы

                (12.103)

до тех пор, пока  и . А так как  - произвольная величина, то условия (12.103) должны выполняться для всех  и , если только .

Отсюда следует, что самый общий гауссов функционал влияния зависит только от одной комплексной функции  и выражается в форме

.                   (12.104)

В случае когда  - действительная функция, например, равна , наш функционал эквивалентен экспоненциальному фактору в выражении (12.87), и мы получаем эквивалент классического шумового возмущения. Вообще говоря, в квантовомеханических системах  - комплексная величина. Важным частным случаем является функция , зависящая только от разности  и : . В этом случае мы имеем дело с окружающей системой, усредненные свойства которой не зависят от абсолютного времени.

Чтобы облегчить понимание некоторых свойств выражения (12.104), найдем вероятность того, что система  переходит из энергетического состояния  в некоторое другое ортогональное состояние  за время . Предположим, что  очень мало и можно использовать теорию возмущений. Если разложить , определяемый выражением (12.104), то главный член обратится в нуль из-за ортогональности состояний. Следующий член, линейный по , состоит из четырех частей. Одна из них это . Если подставить ее вместо  в выражение (12.89) и вычислить, как в (12.83) при  и , то видно, что интеграл по  и  разбивается на произведение двух сомножителей. Первый интеграл по  имеет вид

и представляет собой матричный элемент

                       (12.105)

(см. гл. 4). Интеграл по  равен просто  и комплексно сопряжен матричному элементу . Рассматривая аналогичным способом другие члены, получаем полную вероятность перехода

                        (12.106)

Если состояния  и  ортогональны, то ; если же действие  соответствует постоянному гамильтониану с энергетическими уровнями , то

.                (12.107)

В выражении (12.106) остаются только два последних члена, комплексно сопряженных друг с другом, так что

.                  (12.108)

Задача 12.3. Проверьте, что для  в соответствии с законом сохранения вероятности .

Для однородной по времени среды . Предположим, что мы определили преобразование Фурье

            (12.109)

[ не определена для ]. Так как вероятность, задаваемая формулой (12.108), пропорциональна интервалу времени, на который распространяются интегралы, то можно определить скорость перехода за 1 сек и вероятность перехода

,                  (12.110)

где мы выделили действительную и мнимую части :

.                      (12.111)

Можно отметить также, что для возмущения, вызываемого классическим потенциалом, соответствующим гауссову шуму,  - действительная функция [см. (12.87)], а действительная, часть  является спектральной функцией мощности шума, определенной соотношением (12.32). Следовательно, для таких классических шумовых систем

                    (12.112)

и в первом порядке по возмущению

.                    (12.113)

Обе скорости пропорциональны мощности  при значении , равном частоте перехода. Таким образом, классические потенциалы с равной вероятностью вызывают переходы вверх и вниз.

Другой интересный пример представляет среда, которая не может с какой-либо заметной вероятностью возмещать энергию. Например, если первоначально она находится в основном состоянии или при нулевой температуре. Мы назовем такую среду «холодной». В этом случае переходы системы  с возрастанием энергии  маловероятны. Следовательно, для систем в холодной среде

 при  (12.114)

и в первом порядке по возмущению

, если . (12.115)

Так как любая функция  может быть представлена суммой двух величин [величины, определяемой соотношением (12.112), и величины, определенной в (12.114)], то очевидно, что любой не зависящий от времени гауссов функционал эквивалентен системе в холодной среде, подвергающейся воздействию флуктуирующего классического потенциала, описываемого гауссовым выражением. Этот вывод следует из правила IV и того факта, что произведение двух гауссовых функций тоже есть гауссова функция. Если воздействие одной среды на систему представляется функцией , как это сделано в соотношения (12.87), а воздействие другой среды - аналогичной функцией , то единственный член взаимодействия в парциальном результирующем гауссовом функционале равен .