§ 3. Классический предел

Прежде чем перейти к более строгому рассмотрению, сравним наше квантовое правило с классическим. С первого взгляда остается совершенно неясным, каким образом в классическом приближении наиболее важной окажется всего лишь одна траектория, тогда как из выражения (2.15) следует, что все траектории вносят в амплитуду одинаковый вклад, хотя и с различными фазами. Однако классическое приближение соответствует случаю, в котором размеры, массы, интервалы времени и другие параметры системы настолько велики, что действие  во много раз превосходит постоянную . В этом случае фаза  каждого парциального вклада представляет собой чрезвычайно большой угол. Действительная (или мнимая) часть функции  равна косинусу (или синусу) этого угла и в равной степени может оказаться как положительной, так и отрицательной. Если теперь, как показано на фиг. 2.1, мы сдвинем траекторию на малую величину  (малую в смысле классических масштабов), то изменение действия  также будет небольшим в классическом смысле, однако отнюдь не малым при сопоставлении с величиной . Эти небольшие изменения траектории будут, вообще говоря, приводить к огромным изменениям фазы, так что ее косинус и синус совершают очень быстрые и частые колебания между положительными и отрицательными значениями. Таким образом, если одна траектория дает положительный вклад, то другая, бесконечно близкая к ней (в классическом смысле), дает такой же отрицательный вклад, так что в целом не возникает никакого вклада.

Фиг. 2.1. Классическая траектория 1 .

Это такая траектория, для которой интеграл действия  принимает минимальное значение. Если эта траектория изменяется на величину  (траектория 2), то в первом приближении по  интеграл не претерпевает никаких изменений. Это и определяет уравнение движения.

В квантовой механике амплитуда вероятности перехода из точки  в точку  равна сумме амплитуд, соответствующих всем возможным траекториям. Амплитуда вероятности для заданной траектории, т. е. , имеет фазу, пропорциональную действию. Если действие очень велико по сравнению с постоянной Планка , то для близлежащих траекторий, таких, как 3 и 4, оно лишь незначительно отличается по своей величине, однако вследствие малости постоянной  различие в фазах в этих случаях будет очень большим. Вклады от таких траекторий взаимно уничтожаются. Только в непосредственной близости к классической траектории , где варьирование траекторий лишь незначительно изменяет действие , близлежащие траектории, такие, как 1 и 2, дают вклады с одинаковыми фазами, которые вследствие интерференции усиливают друг друга. Вот почему приближение классической физики, т. е. необходимость рассмотрения только одной траектории , справедливо, когда действие  очень велико по сравнению с постоянной .

Поэтому данную траекторию можно фактически не учитывать, если соседние с ней имеют различное действие, поскольку их вклады взаимно уничтожаются. Однако у некоторой траектории , для которой действие экстремально, небольшие изменения  (во всяком случае, в первом приближении) не меняют величины . Все вклады от траекторий, находящихся в этой области, близки по фазе, которая равна здесь , и взаимно не уничтожаются. Следовательно, существенный вклад мы можем получить лишь в окрестности траектории  и в классическом приближении должны рассматривать только эту траекторию как единственно важную. Именно так классические законы движения получаются из квантовых законов.

Можно здесь же отметить, что траектории, которые не совпадают с , дают вклад лишь в той области, где действие  отличается от  на величину порядка . Классическая траектория в этой небольшой области остается неопределенной, что и ограничивает точность, с которой она выделяется.

Рассмотрим теперь зависимость фазы от положения конечной точки . Если мы немного сместим эту точку, то фаза изменится очень сильно, что приведет к быстрым изменениям ядра . Будем под «гладкой функцией» понимать функцию вида , которая заметно меняется лишь при значительных изменениях аргумента. В этом смысле амплитуде  весьма далеко до гладкости. Однако приведенные соображения показывают, что в классическом приближении она имеет вид

.                  (2.16)

Все эти нестрогие рассуждения допустимы лишь в тех случаях, для которых мы можем ожидать применимости классической физики . Однако на атомном уровне действие  может быть сравнимо с величиной , и тогда в выражении (2.14) должны учитываться все траектории. В этом случае не существует какой-либо траектории, имеющей преимущественное значение, и, конечно, выражение (2.16) не обязательно является хорошим приближением. Для того чтобы рассматривать подобные случаи, необходимо найти способ вычисления сумм, аналогичных выражению (2.14).