§ 5. Интегралы Гаусса

Мы закончили физическую часть данной главы и перейдем теперь к математическим вопросам. Введем дополнительный математический аппарат, который в некоторых случаях поможет нам вычислить сумму по траектории.

Наиболее простыми являются те интегралы по траекториям, в которых показатель экспоненты содержит переменные в степени не выше второй. Мы будем называть такие интегралы гауссовыми. В квантовой механике это соответствует случаю, когда действие  является квадратичной формой от траектории .

Чтобы проиллюстрировать, как действует в этом случае наш метод, рассмотрим частицу, лагранжиан которой имеет вид

.                    (3.44)

Действие представляет собой интеграл по времени от этой функции между двумя фиксированными конечными точками. Фактически лагранжиан в этой форме является несколько более общим, чем это необходимо. В тех членах, где множитель  входит линейно, он может быть исключен интегрированием по частям, однако это обстоятельство сейчас для нас несущественно. Мы хотим определить

                 (3.45)

- интеграл по всем траекториям, соединяющим точки  и .

Конечно, можно выполнить интегрирование по всем этим траекториям тем способом, который был описан вначале, т. е. путем разбиения области интегрирования на короткие временные интервалы и т. д. Пригодность этого способа для вычислений следует из того, что подынтегральное выражение представляет собой экспоненту от квадратичной формы переменных  и . Такие интегралы всегда могут быть вычислены. Однако мы не будем проводить эти утомительные вычисления, так как наиболее важные характеристики ядра  можно определить следующим образом.

Пусть  - классическая траектория между некоторыми фиксированными конечными точками. Это - путь, вдоль которого действие  экстремально. В обозначениях, которые мы применяли ранее,

.             (3.46)

Величину  можно выразить через  и новую переменную

.                   (3.47)

Это означает, что каждая точка на траектории определяется уже не ее расстоянием  от произвольной координатной оси, а отклонением  от классической траектории, как это показано на фиг. 3.7.

Фиг. 3.7. Разность между классической траекторией  и одной из альтернативных траекторий , описываемая функцией .

Поскольку обе эти траектории должны совпадать в начальной и конечной точках, то . Между этими крайними точками функция  может иметь любой вид. Так как классическая траектория полностью фиксирована, то любое изменение альтернативной траектории  эквивалентно соответствующей вариации разностной функции . Поэтому в интеграле по траекториям дифференциал  можно заменить на , а траекторию  - на .

При интегрировании по траекториям величина  остается в этом случае постоянной. Кроме того, описывающая траекторию новая переменная  ограничена тем, что в крайних точках она равна нулю. Указанная подстановка приводит к интегралу по траекториям, не зависящему от положения крайних точек  и .

В каждый момент времени  переменные  и  различаются на постоянную величину  (конечно, для разных моментов времени эта постоянная различна). Поэтому  для каждой выделенной точки . В общем можно сказать, что .

Интеграл действия можно записать в виде

.                     (3.48)

Если сгруппировать все члены, не содержащие , то в результате интегрирования получим . Интеграл от суммы членов, пропорциональных первой степени , равен нулю. Это может быть проверено непосредственным интегрированием (для этого требуется выполнить интегрирование по частям), однако такое вычисление не обязательно, так как мы уже знаем, что результат правилен. Действительно, функция  выбрана таким образом, что вариации траектории в первом порядке вблизи  не изменяют действие . Все, что остается, имеет второй порядок по  и легко отделяется, так что можно написать

.                 (3.49)

Интеграл по траекториям не зависит от вида классической траектории, поэтому ядро можно представить в виде

.                      (3.50)

Так как в начальных и конечных точках всех траекторий , то интеграл по траекториям может быть представлен функцией только от моментов времени в конечных точках. Это означает, что ядро можно записать в виде

,                     (3.51)

т. е. оно определяется с точностью до функции, зависящей от  и . В частности, его зависимость от пространственных переменных  и  оказывается полностью выясненной. Необходимо отметить, что зависимость ядра от коэффициентов при линейных членах  и  и от свободного члена  также полностью известна.

Такое положение представляется характерным для различных методов вычисления интегралов по траекториям; при помощи общих приемов могут быть получены многие результаты, однако оказывается, что часто не удается полностью определить экспоненциальный коэффициент. Он должен отыскиваться из других известных свойств решения, например посредством соотношения (2.31).

Интересно отметить, что приближенное выражение  является точным в случае, когда  представляет собой квадратичную форму.

Задача 3.6. Учитывая, что лагранжиан свободной частицы является квадратичной формой, покажите, что

,                   (3.52)

(см. задачу 2.1), и приведите соображения в пользу того, что функция  может зависеть только от разности .

Задача 3.7. Дальнейшая информация о функции  может быть получена на основе свойства, выраженного равенством (2.31). Прежде всего заметим, что результаты решения задачи 3.6 позволяют записать функцию  как , где  - интервал времени . Используя это представление функции  в выражении (3.52) и подставляя последнее в равенство (2.31), выразите функцию  через  и , где  и . Покажите, что если функцию  записать в виде

,             (3.53)

то новая функция  должна удовлетворять уравнению

.                        (3.54)

Это означает, что  должна иметь вид

,                 (3.55)

где  может быть комплексной величиной, т. е. . Из изложенных до сих пор принципов трудно получить большую информацию о функции . Однако специальный выбор нормировочной константы , как это указано в (2.21), означает, что в первом приближении по  функция . Это соответствует тому, что величина  в выражении (3.55) полагается равной нулю. Окончательный вид функции  согласуется с выражением (3.3).

Из этого примера ясно, каким образом можно установить важные свойства интегралов по траекториям, даже если подынтегральные выражения являются весьма сложными функциями. Во всех случаях, когда подынтегральное выражение представляет собой экспоненциальную функцию, зависящую от траектории в степени не выше второго порядка, можно получить полное решение, исключая, может быть, лишь некоторые простые множители. Это остается верным независимо от числа переменных. Так, например, интеграл по траекториям вида

                (3.56)

содержит в качестве определяющего сомножителя экспоненту , где  - экстремальное значение , определяемое граничными условиями. Единственное ограничение состоит в том, что величина  является функцией второго порядка от переменных ,  и т. д. Остающийся сомножитель представляет собой функцию времени в конечных точках траекторий. Для большинства интегралов, которые мы будем изучать, наиболее существенная информация содержится в основном в экспоненциальном члене, а не в этом сомножителе, который в большинстве практических случаев нам даже не потребуется вычислять. Такой метод вычисления интегралов по траекториям будет часто использоваться в последующих главах.