§ 1. Определение матричных элементов перехода

Изменение квантовомеханической системы во времени можно представить себе следующим образом. В начальный момент  состояние описывается волновой функцией . В более поздний момент времени  это начальное состояние переходит в состояние .

Предположим, что в момент  мы задаем вопрос: какова вероятность найти систему в некотором состоянии ? Как мы знаем из общих соображений, развитых в гл. 5, вероятность того, что система будет находиться в определенном состоянии, пропорциональна квадрату модуля амплитуды, определяемой интегралом

.

Из гл. 3 нам также известно, что функция  может быть выражена через начальную волновую функцию с помощью ядра , описывающего движение системы в интервале между моментами времени  и . Поэтому при отыскании вероятности пребывания системы в каком-то определенном состоянии можно исходить из начальной волновой функции , учитывая зависимость от времени с помощью ядра .

Результирующую амплитуду, абсолютная величина которой дает искомую вероятность, назовем амплитудой перехода и обозначим ее так:

.              (7.1)

При описании процесса перехода для нас было бы сейчас предпочтительнее вернуться к более общим обозначениям. Введем для этого снова функцию действия , описывающую поведение системы в интервале между двумя моментами времени, и запишем амплитуду перехода в виде

.               (7.2)

Здесь мы применяем более точное обозначение, добавив в амплитуду перехода индекс , чтобы указать величину действия, входящего в интеграл. Этот интеграл необходимо взять по всем траекториям, которые соединяют точки  и , результат умножить на две волновые функции и затем еще раз проинтегрировать по всем пространственным переменным в указанных пределах.

Прежде чем пойти дальше, договоримся о новых, лучших обозначениях, с тем чтобы охватить более общие случаи. Введем функционал , не касаясь пока его физической природы. С помощью этого функционала определим матричный элемент перехода как

.                       (7.3)

Здесь  - некоторый функционал от , не зависящий от значений функции  на границе и вне области изменения переменных  и . В частном случае, когда , интеграл (7.3) определяет амплитуду перехода.

Матричные элементы перехода трудно представить себе, если опираться на интуитивные понятия. Поэтому для того, чтобы хотя бы частично использовать такие понятия, обычно обращаются к некоторой классической аналогии. Рассмотрим, например, картину броуновского движения какой-то очень маленькой частицы. Пусть в некоторый начальный момент  эта частица находится в точке  и мы ищем вероятность того, что частица достигнет точки  в момент . В случае квантовомеханических частиц мы обычно говорим о переходе из начального в некоторое конечное состояние. Поэтому точка  для броуновской частицы соответствует начальной волновой функции  в выражении (7.2), а точка  - функции . Далее, решение квантовомеханической задачи требует интегрирования по переменным  и  начального и конечного состояний - шаг, совершенно ненужный в нашей классической задаче.

Классическую задачу можно решить, рассматривая все возможные траектории движения частиц. При этом мы должны были бы вклад каждой траектории брать с весом, равным вероятности того, что частица действительно следует вдоль такой траектории, и вычислить интеграл по всем траекториям. Весовая функция здесь будет соответствовать члену , входящему в интеграл (7.2).

Конечное положение частицы в такой задаче не будет определяться отдельной точкой, а выразится некоторой малой окрестностью точки   (от  до ). После соответствующей нормировки результат будет иметь вид функции распределения , определяющей вероятность достижения бесконечно малой окрестности точки . Эта функция является аналогом амплитуды перехода (7.2) в случае, когда  и  являются -функциями пространственных координат.

Допустим теперь, что мы хотим узнать о движении несколько больше, чем просто относительную вероятность достижения точки : например, мы хотели бы найти ускорение, которое будет иметь частица через некоторое определенное время (скажем, 1 сек) после начала движения. Для этого нам нужно было бы знать вероятные значения всех ускорений, т. е. величину ускорения для каждой возможной траектории, взятую с весом, равным вероятности движения вдоль этой траектории. Такая усредненная величина будет соответствовать матричному элементу перехода (7.3). Суть этого утверждения заключается в том, что в подынтегральную функцию соотношения (7.3) мы вместо функции  должны подставить ускорение, взятое в некоторый момент времени . С помощью интегралов по траекториям решение классической задачи можно представить в виде, очень похожем на соотношение (7.3).

Далее в этой главе мы будем пользоваться подобной аналогией и время от времени будем рассматривать матричные элементы перехода как «взвешенные средние». Необходимо, однако, помнить, что весовая функция в квантовой механике является комплексной величиной и поэтому результат не будет «средним» в обычном смысле этого слова.

Описание броуновского движения методом интегралов по траекториям, как это было показано в нашей классической аналогии, действительно является очень мощным методом. Детально это будет рассмотрено в гл. 12, а сейчас мы с помощью теории возмущений, развитой в гл. 6, попытаемся еще несколько прояснить смысл матричного элемента перехода.

Случай малых возмущений. Предположим, что действие, описывающее движение системы, можно разделить на две части: , где  приводит лишь к простым интегралам по траекториям, в то время как оставшаяся часть  достаточно мала и мы можем применить метод теории возмущений. Экспоненциальную функцию в соотношении (7.2) представим в виде

.                  (7.4)

Учитывая теперь соотношение (7.3), запишем матричный элемент перехода (7.2) в виде

,                       (7.5)

а после разложения экспоненты в ряд получим

.               (7.6)

Этот ряд является обобщением разложения (6.3) и может рассматриваться как основа теории возмущений. Отсюда можно получить матричные элементы перехода, встречающиеся в целом ряде квантовомеханических задач.

Предположим, что возмущающий потенциал и обусловленная им часть функции действия  связаны соотношением

.              (7.7)

В этом случае в первом приближении получим матричный элемент перехода

.                     (7.8)

Чтобы вычислить его, нужно взять интеграл

.               (7.9)

Первый шаг при вычислении этого интеграла в точности совпадает с тем, что мы делали в соотношениях (6.8)-(6.11) при вычислении ядра . Выражение для интеграла по траекториям получается путем интегрирования по координатам обеих конечных точек  и  и по координатам промежуточной точки  [обозначенной в соотношении (6.10) через ]. Таким образом,

.                (7.10)

Мы получили это выражение, основываясь на трех допущениях: во-первых, применили интегральное правило (3.42) для волновой функции; далее, для написания амплитуды мы взяли выражение (5.31), определяющее вероятность того, что система, находящаяся в каком-то определенном состоянии, может быть найдена и в некотором другом состоянии; наконец, для ядра, описывающего движение системы, употребили первое приближение теории возмущений (6.11). Все это в совокупности определяет матричный элемент перехода (7.10). Квадрат модуля этого выражения представляет собой вероятность того, что система, находившаяся в исходном состоянии , может под действием малого возмущающего потенциала  перейти далее в состояние  (если это последнее не является состоянием системы при , т. е. если ).

Соотношение (3.42) позволяет нам ввести сокращенные обозначения подобно тому, как это было сделано в соотношении (6.23) при переходе к выражению (6.25). Определим функцию  как

.              (7.11)

Это - волновая функция в момент , возникающая из начальной волновой функции в случае, когда нет возмущения. Аналогично определим функцию

,               (7.12)

комплексно сопряженную волновой функции, которая (при отсутствии возмущения) в момент  будет совпадать с функцией  в момент  [см. уравнение (4.38) и задачу 4.7].

С помощью вновь введенных волновых функций член первого порядка теории возмущений можно записать более просто:

,                    (7.13)

откуда видно, что амплитуда перехода, представленная в такой форме, является обобщением амплитуды перехода , введенной в § 5 гл. 6. Если волновые функции в правой части соотношения (7.13) являются собственными функциями, то результирующая амплитуда перехода будет просто совпадать с амплитудой , определяемой соотношением (6.70).

Таким образом, вычисление элемента перехода для функционала зависящего от времени  только через , как и вычисление интеграла по времени от такого функционала, не вызывает затруднений. Легко вычисляется и элемент перехода для функционалов, зависящих от функций , определенных для двух разных моментов времени. Такая задача встречается, например, при рассмотрении члена второго порядка ряда теории возмущений. Этот член можно записать в виде

.                   (7.14)

Подынтегральное выражение в этом соотношении само по себе является матричным элементом перехода и может быть представлено как

,                       (7.15)

где мы обозначили ;  для случая  и ;  для .

Таким образом, член второго порядка в разложении теории возмущений имеет вид

,                  (7.16)

что можно понимать как обобщение амплитуды перехода (6.74). Нетрудно написать также выражения, содержащие три или более функций.

Соотношение (7.4) соответствует и более общему виду теории возмущений. Для примера рассмотрим частицу, взаимодействующую с каким-либо осциллятором. После интегрирования по координатам осциллятора результирующую функцию действия можно написать как , где (см. § 10 гл. 3)

.                (7.17)

Функционал  здесь характеризует взаимодействие частицы и осциллятора; .

Как уже отмечалось, практическое вычисление интегралов по траекториям, содержащих такую сложную функцию действия, очень затруднительно, однако если можно ожидать, что эффект, вызываемый сложным членом , невелик, то искомый результат легко получить, разложив экспоненту (7.4) в ряд по возмущениям. Для иллюстрации найдем член первого порядка в таком разложении (т. е. первую борновскую поправку). Используя для  выражение (7.17), можно вычислить член , записав его в виде

     (7.18)

так что наиболее трудная часть задачи сводится к отысканию выражения .

Но это выражение мы уже встречали в соотношении (7.15), с той лишь разницей, что вместо  там стояло . Поэтому мы можем написать

.     (7.19)

Подставив результат в соотношение (7.18), получим окончательное выражение для первой борновской поправки . Заметим, что с матричными элементами перехода мы будем часто встречаться в дальнейшем и в каждом случае их можно будет вычислить так, как только что было показано. Поэтому лишь малая часть излагаемого ниже окажется существенной для дальнейшего рассмотрения. Тем не менее существуют веские соображения, исходя из которых мы и включили этот материал в нашу книгу. Во-первых, возникает возможность получить весьма общие соотношения между матричными элементами перехода, которые можно было бы рассматривать в качестве отправной точки для нового построения квантовой механики. Во-вторых, для тех, кто хорошо знаком с более привычным операторным изложением квантовой механики, мы предлагаем нечто вроде пособия для перевода с одного языка на другой, что поможет перейти от обычного представления к представлению, используемому в данной книге, т. е. к выражениям, подобным (7.3).

Пользуясь этими правилами перевода, содержание последующих глав, изложенное на языке интегралов по траекториям, можно понять и перевести на язык более привычных символов.

Соотношения, рассматриваемые ниже в данной главе, не зависят от вида волновых функций, описывающих начальное или конечное состояние системы; вид этих функций важен лишь при определении интеграла для матричного элемента перехода. Поэтому применим сокращенные обозначения, опустив все, что характеризует волновые функции; матричный элемент перехода будет теперь обозначаться как  вместо старого обозначения .