§ 7. Системы с многими переменными

Предположим, что система имеет несколько степеней свободы. Ядро, соответствующее такой системе, можно представить в виде (2.25), где символ  обозначает сейчас не одну, а сразу несколько координат.

В качестве первого примера мы рассмотрим трехмерное движение частицы, когда траектория определяется тремя функциями ,  и . В частности, для свободной частицы действие равно

.

Ядро, описывающее переход из некоторой начальной точки  в момент времени  в конечную точку  и момент времени ,

.                 (3.69)

Дифференциал здесь записан в виде . Если время разделено на промежутки , то положение частицы в момент времени  задается тремя переменными , ,  и интеграл по переменным , ,  для каждого значения  имеет вид, аналогичный выражению (2.22). (Если представлять положение частицы вектором  в некотором -мерном пространстве, то дифференциал в каждой точке равен элементу объема  или  и произведение дифференциалов для каждого  мы можем записать в более общем виде .)

Если используется определение (2.22), то в каждом временном интервале для каждой из переменных должен быть введен нормировочный множитель  [см. формулу (2.21)]. Поэтому если весь интервал времени разделен на  промежутков длительностью , то в интеграл должен быть включен множитель .

Еще один пример ситуации с несколькими переменными дают две взаимодействующие системы. Предположим, что одна система представляет собой частицу массой , координата которой , а другая система - частицу массой  и с координатой . Допустим, что эти две системы взаимодействуют посредством потенциала . Действие в этом случае равно

,                (3.70)

так что ядро имеет вид

.                  (3.71)

Это обобщение соотношения (2.25) можно истолковать математически как движение точки в некотором абстрактном двумерном пространстве . Однако значительно легче представлять это движение физически, рассматривая его как движение двух отдельных частиц, координаты которых соответственно  и . Тогда  является ядром для перехода частицы массы  из пространственно-временной точки  в точку  и частицы массы  из точки  в точку . Ядро  равно в этом случае сумме амплитуд вероятности, взятой по всем возможным траекториям обеих частиц между соответствующими конечными точками. Амплитуда вероятности, отвечающая какой-либо частной комбинации траекторий (т. е. определенным  и ), равна экспоненте , где  - действие, определяемое выражением (3.70). С математической точки зрения амплитуда вероятности представляет собой функционал от двух независимых переменных  и , и интеграл берется по обеим этим функциям.