§ 9. Функционал влияния гармонического осциллятора

Ниже мы дадим пример того, как из выражения (12.90) можно вывести функционал  для среды, состоящей из гармонических осцилляторов с координатами . Осцилляторы находятся в основном состоянии и их координаты линейно связаны с координатами , взаимодействие описывается членом . Будем считать, что все осцилляторы имеют единичную массу и собственную частоту , так что

.              (12.116)

Тогда

              (12.117)

где  - конечное состояние, а первоначальным является основное состояние. Легко видеть, что интеграл по  гауссов, и фактически мы уже вычисляли его. Он точно совпадает с амплитудой перехода , полученной в § 9 гл. 8 для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила. Сила, обозначенная там через , здесь равна . Поэтому амплитуда определяется выражением (8.145) при :

,                (12.118)

причем  определяется равенством (8.138), а  - равенством (8.143) с заменой  на . Аналогично интеграл по  является комплексно-сопряженной величиной для такого же выражения, где  следует лишь заменить на . Величины, полученные после такой замены, будем отмечать штрихами. Тогда сумма по конечным состояниям в выражении (12.117) даст нам

.          (12.119)

Как и ожидалось, подстановка равенств (8.138) и (8.143) приводит к функционалу  типа (12.104), но при этом

.                       (12.120)

Например, члены с  в выражении (12.104) получаются прямо из члена  в экспоненте; соотношение (8.143) для этого случая дает

.          (12.121)

Поэтому определяемая преобразованием (12.109) величина  равна

                 (12.122)

[см. равенство (5.17) и приложение], так что действительная часть

.                     (12.123)

Для положительных  эта величина обращается в нуль. Как и ожидалось, мы получили «холодную среду», определяемую выражением (12.114).

Если действует много независимых осцилляторов с различными частотами, то, согласно правилу IV, их функции  складываются. Поэтому в таком гауссовом приближении любая холодная система эквивалентна континууму осцилляторов, находящихся в основном состоянии. Это - следствие того, что для отрицательных  любую функцию  можно построить из -функций в форме (12.123).

Другой интересный пример - это взаимодействие с осциллятором при конечной температуре. Если температура равна , то начальное состояние - это состояние  с относительной вероятностью . В нашем случае абсолютная вероятность

.                (12.124)

Если бы начальным было состояние , то функционал влияния имел бы вид

,                   (12.125)

а не (12.119). Используя правило III, сложим эти функционалы с весами , так что окончательное выражение для функционала  равно

.                       (12.126)

Эту сумму трудно получить непосредственно из выражения (8.145).

Она равна

.                      (12.127)

Вместо (12.123) для  получается выражение

,               (12.128)

а суммы таких выражений для многих осцилляторов дают описание среды. Здесь возможны переходы как к меньшим , так и к большим энергиям.

Заметим, что если , то обратится в нуль первая -функция, тогда как при  равна нулю вторая -функция; кроме того, как и следовало ожидать,

.               (12.129)

Это соотношение означает, что в теории возмущений, когда ,

; (12.130)

при этом мы воспользовались выражением (12.110).

Таким образом, если система  занимает различные состояния  с относительными вероятностями , то средние числа переходов к большим и меньшим энергиям будут выравниваться и в случае слабого взаимодействия с окружающей средой система будет находиться в статистическом равновесии. Именно это и следовало ожидать из принципов статистики. Любая среда с температурой , приводящая к квадратичному функционалу влияния, будет обладать свойствами, описываемыми соотношением (12.129).

Для атома, рассматриваемого в качестве системы  и взаимодействующего с электромагнитным полем при температуре  как с некоторой средой, величина  дается выражением (12.128), проинтегрированным по всем собственным колебаниям поля с различными частотами . Его можно разделить на часть, соответствующую холодной среде, описываемую уравнением (12.123), и внешний шумовой потенциал

.                (12.131)

Первый член вызывает переходы только к более низким уровням, называемым спонтанным излучением. Второй член с одинаковой легкостью вызывает переходы вверх и вниз, называемые индуцированным излучением, или индуцированным поглощением. Мы говорим, что этот переход вызывается внешним потенциалом или шумом, среднеквадратичная интенсивность которого при частоте  меняется с температурой как . Таким способом Эйнштейн впервые рассмотрел законы излучения черного тела. Как мы теперь видим, любое окружение, дающее квадратичный потенциал влияния при температуре  (назовем его окружением с линейной реакцией), можно рассмотреть тем же путем. Многие исследователи распространили аргументы Эйнштейна на другие системы, например на шумовые флуктуации потенциала в вольтметре при температуре . Первый член измеряет скорость, с которой энергия определенным способом отбирается от системы. Он измеряет величину диссипации, вызванной средой (например, электрическим сопротивлением металла или радиационным сопротивлением электромагнитного поля). Относительно тел при температуре  можно сказать, что они ведут себя так, как будто, кроме диссипации, имеется генерируемый средой шумовой сигнал, средний квадрат которого при любой частоте пропорционален диссипации при той же частоте и величине . Это утверждение называется диссипативно-флуктуационной теоремой.

Этот вопрос мы рассматривать здесь не будем (см. [20.22]).