Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Гамильтониан, не зависящий от времениСтационарные
состояния с определенной энергией.
Специальный случай, когда гамильтониан
Как
это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному
уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шредингера (4.14) в виде
или
Левая
часть этого уравнения не зависит от
или
с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид
где
функция
а
это как раз и означает, что соответствующая такому частному решению волновая
функция осциллирует с определенной частотой. Мы уже видели, что частота
осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда
волновая функция системы имеет вид (4.41), то говорят, что система обладает
определенной энергией Вероятность
того, что частица находится в точке Подобная
стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределенности,
поскольку, если нам известно, что энергия точно равна Пусть
так
как уравнение Шредингера линейно, то ясно, что наряду с
тоже будет решением уравнения Шредингера. Вообще
можно показать, что если известны все возможные значения энергии Полная
вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в
предыдущем параграфе, является константой. Это должно быть справедливо при
любых значениях
Так
как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены
(т. е. члены, содержащие экспоненты
Если
две функции
то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны. Ниже
будет дана интерпретация выражений типа
Задача
4.8. Покажите, что когда оператор Задача
4.9. Покажите справедливость равенства (4.46) в случае, когда оператор
Линейные
комбинации функций стационарных состояний. Предположим, что функции, соответствующие набору
энергетических уровней
где
Коэффициенты
и, следовательно,
Таким образом мы получили тождество
Другой
интересный способ получения того же результата исходит из определения
Ядро
Но
в момент времени
поскольку
мы всегда можем представить
Подставив это в выражение (4.53), будем иметь
Используя
теперь для коэффициентов
Эта
формула выражает волновую функцию в момент времени
Сравнивая
его с предыдущим, мы окончательно получаем искомое выражение для ядра
Задача
4.10. Проверьте, что ядро Представление
ядра Задача 4.11. Покажите, что в трехмерном случае частные решения уравнения для свободных частиц
соответствуют
энергии
В этом случае ядром, описывающим движение свободной частицы, будет выражение
Так
как векторы
Ядро для случая свободной частицы запишется как
Задача 4.12. Вычислите интеграл (4.64) в квадратурах. Покажите, что результат при этом получается в том виде, какой действительно должен быть у ядра для свободной частицы [т. е. представляет собой трехмерное обобщение выражения (3.3)].
|
1 |
Оглавление
|