Главная > Квантовая механика и интегралы по траекториям
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Гамильтониан, не зависящий от времени

Стационарные состояния с определенной энергией. Специальный случай, когда гамильтониан  оказывается не зависящим от времени, очень важен в практическом отношении. Ему соответствует действие , не зависящее явным образом от времени  (например, когда потенциалы  и  не содержат время ). В таком случае ядро зависит не от переменной времени , а будет функцией лишь интервала . Вследствие этого факта возникают волновые функции с периодической зависимостью от времени.

Как это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шредингера (4.14) в виде , т. е. в виде произведения функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координат. Подстановка в уравнение (4.14) дает соотношение

,                      (4.39)

или

.                     (4.40)

Левая часть этого уравнения не зависит от , тогда как правая не содержит зависимости от . Для того чтобы это уравнение удовлетворялось при любых  и , обе его части не должны зависеть от этих переменных, т. е. должны быть постоянными. Обозначим такую постоянную через . Тогда

,

или

с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

,                      (4.41)

где функция  удовлетворяет уравнению

,                  (4.42)

а это как раз и означает, что соответствующая такому частному решению волновая функция осциллирует с определенной частотой. Мы уже видели, что частота осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда волновая функция системы имеет вид (4.41), то говорят, что система обладает определенной энергией . Каждому значению энергии  соответствует своя особая функция  - частное решение уравнения (4.42).

Вероятность того, что частица находится в точке , задается квадратом модуля волновой функции , т. е. . В силу равенства (4.41) эта вероятность равна  и не зависит от времени. Другими словами, вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства не зависит от времени. В таких случаях говорят, что система находится в стационарном состоянии - стационарном в том смысле, что вероятности никак не изменяются со временем.

Подобная стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределенности, поскольку, если нам известно, что энергия точно равна , время должно быть полностью неопределенным. Это согласуется с нашим представлением о том, что свойства атома в точно определенном состоянии совершенно не зависят от времени, и при измерениях мы получали бы тот же самый результат в любой момент.

Пусть  - значение энергии, при котором уравнение (4.42) имеет решение , и  - другое значение энергии, соответствующее некоторому другому решению . Тогда мы знаем два частных решения уравнения Шредингера, а именно:

 и ;              (4.43)

так как уравнение Шредингера линейно, то ясно, что наряду с  его решением будет и . Кроме того, если  и  - два решения уравнения, то и сумма их также является решением. Поэтому ясно, что функция

                    (4.44)

тоже будет решением уравнения Шредингера.

Вообще можно показать, что если известны все возможные значения энергии  и найдены соответствующие им функции , то любое решение  уравнения (4.14) можно представить в виде линейной комбинации всех частных решений типа (4.43), соответствующих определенным значениям энергии.

Полная вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в предыдущем параграфе, является константой. Это должно быть справедливо при любых значениях  и . Поэтому, используя для функции  выражение (4.44) получаем

                      (4.45)

Так как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены (т. е. члены, содержащие экспоненты ) должны обращаться в нуль независимо от выбора коэффициентов  и . Это означает, что

.                (4.46)

Если две функции  и  удовлетворяют соотношению

,

то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны.

Ниже будет дана интерпретация выражений типа , и мы увидим, что равенство (4.46) отражает тот факт, что если частица имеет энергию  [и, следовательно, ее волновая функция ], то вероятность обнаружить у нее другое значение энергии  [т. е. волновую функцию ] должна равняться нулю.

 

Задача 4.8. Покажите, что когда оператор  эрмитов, то собственное значение  вещественно [для этого следует положить в равенстве (4.30) ].

Задача 4.9. Покажите справедливость равенства (4.46) в случае, когда оператор  эрмитов [для этого в равенстве (4.30) положите , ].

 

Линейные комбинации функций стационарных состояний. Предположим, что функции, соответствующие набору энергетических уровней , не только ортогональны, но также и нормированы, т. е. интеграл от квадрата их модуля по всем значениям  равен единице:

,                  (4.47)

где  - символ Кронекера, определяемый равенствами , если , и . Большинство известных в физике функций можно представить в виде линейной комбинации ортогональных функций; в частности, в таком виде можно представить любую функцию, являющуюся решением волнового уравнения Шредингера:

.              (4.48)

Коэффициенты  легко найти; умножая разложение (4.48) на сопряженные функции  и интегрируя по , получаем

                       (4.49)

и, следовательно,

.                      (4.50)

Таким образом мы получили тождество

.                      (4.51)

Другой интересный способ получения того же результата исходит из определения -функции:

.              (4.52)

Ядро  можно выразить через функции  и значения энергии . Мы сделаем это с помощью следующих соображений. Пусть нас интересует, какой вид имеет волновая функция в момент времени , если она нам известна в момент времени . Так как она является решением уравнения Шредингера, то при любом  ее, как и всякое его решение, можно записать в виде

.                      (4.53)

Но в момент времени

,                     (4.54)

поскольку мы всегда можем представить  в виде ряда (4.48). Отсюда следует, что

.                    (4.55)

Подставив это в выражение (4.53), будем иметь

.                      (4.56)

Используя теперь для коэффициентов  выражение (4.50), получаем

                     (4.57)

Эта формула выражает волновую функцию в момент времени  через волновую функцию , относящуюся к моменту времени . Ранее мы выражали это соотношением

.             (4.58)

Сравнивая его с предыдущим, мы окончательно получаем искомое выражение для ядра :

               (4.59)

 

Задача 4.10. Проверьте, что ядро , определенное соотношением (4.59), удовлетворяет уравнению Шредингера.

Представление ядра  в виде (4.59) оказывается очень полезным при переходе к более привычным изложениям квантовой механики. Ядро, определенное ранее как интеграл по траекториям, выражено здесь лишь через решения дифференциального уравнения (4.42).

Задача 4.11. Покажите, что в трехмерном случае частные решения уравнения для свободных частиц

              (4.60)

соответствуют энергии . Докажите свойство ортогональности, рассматривая в качестве индекса  вектор , т. е. докажите, что для

 даже если .                        (4.61)

В этом случае ядром, описывающим движение свободной частицы, будет выражение

.                   (4.62)

Так как векторы  составляют континуум, сумма по «индексам»  фактически эквивалентна интегралу по всем значениям , т. е.

.                     (4.63)

Ядро для случая свободной частицы запишется как

.                     (4.64)

Задача 4.12. Вычислите интеграл (4.64) в квадратурах. Покажите, что результат при этом получается в том виде, какой действительно должен быть у ядра для свободной частицы [т. е. представляет собой трехмерное обобщение выражения (3.3)].

 

1
Оглавление
email@scask.ru