§ 3. Шумы

Используем теперь развитые выше идеи для изучения конкретных примеров и в ходе этого выработаем несколько новых понятий. Пусть мы проводим эксперимент, в котором считаем сигналы некоторого типа, например импульсы, создаваемые космическими лучами в счетчике Гейгера, или импульсы теплового шума в вольтметре. В таких случаях импульсы проявляются не просто как резкие дискретные всплески энергии, а характеризуются нарастанием и спадом потенциала. Внимательное изучение реального изменения потенциала, вызванного такими импульсами, показало бы, что для сигнала, пришедшего в момент , оно имело бы форму . Точно так же, если бы сигнал приходился на момент , форма потенциальной кривой была бы .

Далее предположим, что мы проводим наши измерения в интервале времени , в течение которого регистрируются импульсы с центрами в моменты . Полное изменение потенциала в течение всего эксперимента было бы . Так как нам известно, когда произошли все события, то наша функция распределения просто должна выражать достоверность. Используя равенство (12.15), получаем соответствующую характеристическую функцию

.                    (12.16)

Предположим теперь, что до проведения эксперимента мы хотели бы определить вероятность наблюдения вполне определенного изменения потенциала с течением времени. Допустим при этом, что  событий равновероятно распределены по всему интервалу , т. е. что вероятность события в интервале времени  равна . В этом случае характеристическая функция оказывается равной

.  (12.17)

Обозначим выражение в скобках через  и запишем результат как .

Если число событий в интервале времени распределяется так, что применимо распределение Пуассона, т. е. наступление любого события не зависит от момента наступления других событий и имеется постоянная скорость  появления среднего числа событий за единицу времени, то среднее число событий, происходящих за время , равно  и характеристическая функция

.                 (12.18)

Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение экспоненты от , так что характеристическую функцию можно записать в виде

      (12.19)

Таким образом, можно теперь вычислить характеристическую функцию для многих различных случаев. Перейдем к рассмотрению некоторых частных случаев, где можно использовать простые приближения.

Допустим, что сигналы очень слабые, а их среднее число за единицу времени велико. В этом случае  мало и, разлагая экспоненту  в степенной ряд, можно аппроксимировать характеристическую функцию выражением

,                       (12.20)

где через  обозначена площадь сигнала. Это означает, что характеристическая функция  выражается в виде (12.15) с  (постоянной, не зависящей от ), а это эквивалентно достоверному утверждению, что  совпадает с , или, другими словами, вероятность равна единице при наблюдении функции  и равна нулю при наблюдении других функций . Таким образом, совокупность большого числа малых слабых сигналов порождает почти постоянный потенциал, величина которого равна произведению числа сигналов за 1 сек на среднее значение потенциала сигнала.

Перейдем теперь к приближению более высокого порядка и изучим флуктуации около этого постоянного потенциала. Равенство (12.20) дает первое приближение экспоненты  в выражении для характеристического функционала (12.19). Допустим теперь, что мы переходим к следующему приближению и учитываем члены второго порядка в виде

.             (12.21)

Чтобы получить более простое выражение, введем функцию, определяющую степень перекрытия двух соседних сигналов,

.                  (12.22)

Эта подстановка приводит член второго порядка к виду

.                     (12.23)

Характеристический функционал с учетом членов первого и второго порядков приобретает вид

.                     (12.24)

Первый множитель в этом выражении соответствует постоянному среднему уровню шума, который, если иметь в виду импульсы напряжения, можно назвать уровнем постоянного тока. Мы можем при желании пренебречь этим уровнем и интересоваться только изменениями потенциала, сдвинув начало отсчета . Это означает, что путем изменения начала отсчета функции  всегда можно освободиться от множителя  [т. е. записать , изучить распределение вероятности и характеристический функционал для ]. Если мы сделаем такое изменение начала отсчета, то будем изучать лишь флуктации напряжения относительно уровня постоянного тока.

Отметим одно приближение к функционалу (12.24), которое часто оказывается точным. В общем случае  - узкая, пикообразная функция от . Нарастание и спад формы сигнала  характеризуется конечной шириной, так что если два сигнала разделены достаточно большим промежутком времени, то у них нет области перекрытия. Другими словами,  быстро стремится к нулю при увеличении . Поэтому, если  имеет достаточно узкий профиль, второй член в уравнении (12.24) может быть аппроксимирован выражением

,                      (12.25)

где обозначено . Это эквивалентно распределению вероятности

.                (12.26)

Флуктуации, подобные тем, что мы сейчас рассматриваем, часто называют гауссовым шумом.

Характеристики функционалов вероятности, описывающих шумовые функции, последнее время широко обсуждались в теории связи, причем многие характеристики шумового спектра были определены и вычислены. Аналогичное рассмотрение проведем здесь и в следующем параграфе, где рассматриваются гауссовы шумы.

Покажем еще на одном примере, как выводятся характеристические функционалы. Рассмотрим сигналы, которые приходят в случайные моменты времени и для которых задана характеристическая форма, например, в виде , но различен масштабный весовой множитель, так что типичный сигнал запишется, как . Можно также допустить, что вес  может быть либо положительным, либо отрицательным. Пусть сигналы приходят в какие-то моменты времени , а их веса принимают случайные положительные и отрицательные значения . Тогда результирующая функция представляется выражением

.                       (12.27)

Если отвлечься от случайной природы событий, то мы получим характеристический функционал, эквивалентный функционалу (12.16):

.               (12.28)

Если учесть теперь случайную природу весовых масштабных множителей сигналов и обозначить вероятность обнаружения весового множителя, соответствующего -му сигналу, в интервале  через , то характеристический функционал будет иметь вид

.                   (12.29)

Конечно, каждая из вероятностных функций для величин  обладает соответствующей ей характеристической функцией (или производящей функцией для моментов). Назовем эту функцию  и определим ее равенством

.                      (12.30)

Тогда выражение для  можно записать в виде

.                     (12.31)

Далее мы можем действовать как при выводе выражения (12.17) и допустить, что моменты появления сигналов случайно распределены по интервалу . Если мы предположим, что в этом интервале имеется точно  импульсов, то получим характеристический функционал

,                 (12.32)

где

.                      (12.33)

Если теперь, как и при выводе (12.18), предположить, что распределение числа сигналов во времени описывается функцией Пуассона, то выражение (12.32) надо умножить на , где, как прежде,  - среднее число сигналов за время . Суммируя по , получаем

.                 (12.34)

В качестве конкретного примера использования полученного результата рассмотрим очень узкий сигнал. Более того, предположим, что его форму можно аппроксимировать -функцией, т. е. . Тогда характеристический функционал

.                 (12.35)

Предположим далее, что весовые множители имеют гауссово распределение с нулевым средним значением и среднеквадратичным отклонением, равным ; другими словами, допустим, что эти множители имеют обычное нормальное распределение

.                       (12.36)

В этом случае характеристическая функция

                    (12.37)

приводит к следующему выражению для :

.                       (12.38)

Итак, мы снова установили, что, выбирая исходные предположения, можно вывести соответствующий характеристический потенциал. На любой стадии вывода допустима обоснованная аппроксимация, сводящая функционал к квадратичному виду. Например, в только что описанном случае малая величина среднеквадратичного масштабного множителя  соответствует слабым сигналам. Если к тому же среднее число сигналов, приходящихся на временной интервал, велико, то (12.38) достаточно хорошо аппроксимируется выражением

.                     (12.39)

Такое распределение называется белым шумом.