Главная > Квантовая механика и интегралы по траекториям
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 1. Ряд теории возмущений

Члены ряда. Предположим, что частица движется под действием потенциала . Ограничимся пока одномерным движением. Тогда ядро, соответствующее переходу между точками  и , будет иметь вид

.                       (6.1)

Индекс  в обозначении  отражает тот факт, что на частицу действует потенциал . Отсюда обозначение  будет относиться к ядру, описывающему движение свободной частицы.

В некоторых случаях ядро  может быть определено с помощью уже изученных методов. Например, в гл. 3 мы вычислили ядро для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила . Потенциал в этом случае имеет вид

                  (6.2)

[см. лагранжиан (3.65) ]. В общем случае, когда потенциал квадратичен по переменной , ядро может быть вычислено точно; наряду с этим при достаточно медленном изменении потенциала оказывается хорошо применимым квазиклассическое приближение. Известны также некоторые другие типы потенциалов, которые удобно рассматривать с помощью уравнения Шредингера. Теперь обратимся к изучению самих разложений, которые часто оказываются полезными при малых возмущающих потенциалах.

Пусть потенциал действительно мал; более точно предположим, что мал по сравнению с величиной  интеграл по времени от потенциала вдоль траектории. Тогда та часть экспоненциального члена в подынтегральном выражении (6.1), которая зависит от , может быть разложена в ряд

,                 (6.3)

который определен для некоторой частной траектории . Подставляя это разложение в (6.1), получаем

,              (6.4)

где

,                  (6.5)

,                   (6.6)

                (6.7)

и т.д.

Чтобы не перепутать временные переменные, по которым проводится интегрирование, мы обозначили их здесь через ,  и т. п.

 

Вычисление членов ряда. Рассмотрим сначала ядро . Для нас удобнее изменить порядок интегрирования по переменной  и по траектории . Запишем

,               (6.8)

где

.                (6.9)

Интеграл по траектории  имеет следующий смысл: это амплитуда вероятности свободной частицы, просуммированная по всем траекториям. При этом каждая траектория входит сюда с весом, равным значению потенциала , вычисленного в момент времени . Единственная характеристика траектории , от которой зависит потенциал , - это положение траектории в некоторый момент времени . Другими словами, до и после этого момента  содержащаяся в функционале  траектория совпадает с траекторией обычной свободной частицы. Все вышесказанное поясняет фиг. 6.1.

Фиг. 6.1. Движение с одним рассеянием.

Частица выходит из точки  и двигается как свободная до точки . Здесь на нее действует потенциал , происходит рассеяние. После этого частица движется как свободная до точки . Амплитуда, описывающая такое движение, дается выражением (6.10). Если эту амплитуду проинтегрировать по всем возможным положениям точки , то получим член первого порядка теории возмущений.

Основываясь на соображениях, аналогичных тем, которые мы использовали при выводе соотношения (2.31), разделим каждую траекторию на две части: часть, которая относится к моментам времени, предшествовавшим моменту , и часть, которая соответствует более позднему времени.

Для конкретности предположим, что каждая траектория проходит через точку  именно в этот момент времени . Далее мы проинтегрируем по всем значениям . Если точку  обозначить через  (т. е. положить ), то сумму по всем таким траекториям можно записать как . Это означает, что функционал  можно представить в виде

.              (6.10)

Подстановка этого выражения в соотношение (6.8) дает

,                        (6.11)

где .

Пределы интегрирования по  здесь положены равными . В практических задачах эти пределы обычно определяются видом потенциала, который в большинстве случаев спадает до нуля при очень больших значениях , или свойствами примененных установок, которые ограничивают область изменения .

 

Интерпретация членов ряда. Чтобы лучше понять физический смысл очень важного и полезного соотношения (6.11), мы специально остановимся на его интерпретации. Назовем процесс взаимодействия между потенциальным полем и частицей рассеянием, так, мы будем говорить, что частица рассеивается на потенциале и что амплитуда такого рассеяния на единицу объема и единицу времени равна .

Учитывая это определение, мы можем интерпретировать ядро  следующим образом. Это ядро представляет собой, очевидно, сумму, взятую по всем альтернативным путям, по которым частица может попасть из точки  в точку . Эти возможности следующие:

1) частица может вообще не рассеяться ,

2) частица может рассеяться один раз ,

3) частица может рассеяться дважды  и т. д.

В соответствии с такой интерпретацией на фиг. 6.2 изображены различные траектории частицы.

Фиг. 6.2. Различные случаи рассеяния.

В случае 1 частица под действием потенциала  движется от точки  до точки , не рассеиваясь. Такое движение описывается амплитудой . В случае 2 частица в своем движении под действием потенциала  испытывает один акт рассеяния в точке . Этому соответствует амплитуда . В случае 3 частица рассеивается дважды [амплитуда ], а в случае 4 -  раз, причем последнее рассеяние происходит в точке . Полная амплитуда, описывающая движение частицы из точки  в точку  при любом числе рассеяний, является суммой .

Заметим, что каждая из перечисленных выше альтернатив в свою очередь является суммой альтернатив. Рассмотрим, например, ядро , описывающее однократное рассеяние. Этому ядру соответствует, в частности, следующая альтернативная траектория: частица начинает двигаться из точки , движется свободно до точки  , где она рассеивается на потенциале , после чего снова движется как свободная частица из точки  до конечной точки . Амплитуда, соответствующая такой траектории, равна

.                        (6.12)

(Следует напомнить, что, согласно используемой нами договоренности, можно проследить за движением частицы, читая эту формулу в обратном порядке, т. е. справа налево.)

Структура амплитуды (6.12) согласуется с правилом, сформулированным в § 5 гл. 2, а именно амплитуды вероятности последовательных во времени событий перемножаются. В соответствии с равенством (6.11) полное выражение для ядра  получается сложением всех таких альтернатив, т. е. интегрированием по переменным  и .

С помощью этих рассуждений мы можем сразу написать ядро  для двухкратного рассеяния в виде

,                 (6.13)

где . Эта формула, будучи прочитана справа налево, означает следующее: частица движется свободно от точки  до точки  и здесь рассеивается на потенциале, который в этой точке равен . Затем частица снова движется свободно от точки  до точки , где она рассеивается на потенциале . После чего частица движется от точки  к точке  опять как свободная частица. Мы суммируем по всем альтернативам, т. е. по всем пространственным точкам и моментам времени, где может произойти такое рассеяние.

Здесь мы молчаливо предполагали, что . Чтобы избежать усложнений, связанных с явным введением этого предположения в каждом примере, будем пользоваться условием, введенным ранее в гл. 4 [см. соотношение (4.28)], и предполагать, что

 для .                    (6.14)

Тогда равенство (6.13) будет выполняться без каких-либо ограничений во всей области интегрирования по переменным  и . Читателя может заинтересовать вопрос, что произошло с коэффициентом 1/2, который, как легко видеть, был в формуле (6.7) и кажется пропущенным в соотношении (6.13). Отметим, что в формуле (6.13) область интегрирования по переменной  по-прежнему заключена в пределах от  до . Однако область интегрирования по переменной  ограничена тем, что точка  обязана теперь находиться между точками  и  вследствие условия (6.14). Такое ограничение уменьшает величину интеграла ровно наполовину. Чтобы увидеть это более ясно, представим двойной интеграл (6.7) в виде

                 (6.15)

Первый член в правой части этого соотношения удовлетворяет ограничениям, накладываемым условием (6.14). После изменения порядка интегрирования второй член справа можно записать как

.                (6.16)

Если в этом выражении поменять местами переменные  и , то величина интеграла не изменится. Следовательно, первый и второй члены в правой части соотношения (6.15) равны и каждый из них есть половина величины первоначального интеграла. С помощью аналогичных соображений в выражении для ядра  получается коэффициент !

 

Задача 6.1. Допустим, что потенциал может быть записан как сумма , где  мало по сравнению с . Далее, пусть ядро, описывающее движение под действием одного из этих потенциалов, вычислимо (например, потенциал  может быть квадратичным по переменной  и не зависеть от времени). Покажите, что движение под действием суммарного потенциала  описывается соотношениями (6.4), (6.11), (6.13) и (6.14), если ядро  заменить ядром , соответствующим движению только лишь под действием потенциала . Таким образом,  можно рассматривать как возмущение потенциала . Можно сказать, что  представляет собой амплитуду вероятности рассеяния, обусловленного возмущающей частью потенциала (в расчете на единицу объема и на единицу времени). Ядро  - амплитуда, описывающая движение системы под действием невозмущенного потенциала .

Задача 6.2. Предположим, что система состоит из двух частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом , где  - координата первой, а  - координата второй частицы [ср. § 8 гл. 3 и выражение (3.75)]. Если не учитывать этого взаимодействия, то движение частиц будет свободным.

Если потенциал равен нулю, то  - просто произведение двух ядер, соответствующих свободным частицам. Используя этот факт, получите ряд теории возмущений для величины . Спрашивается, какими физическими соображениями диктуются различные члены этого ряда?

 

1
Оглавление
email@scask.ru