§ 1. Случайные события

Для начала предположим, что перед нами стоит задача теории вероятности, в которой переменные принимают дискретные значения. Пусть в случайно выбранные моменты времени происходит ряд дискретных событий; это может быть, например, прохождение космических частиц через счетчик или падение дождевых капель на выделенную для наблюдений площадку. Хотя известно, что частицы появляются в случайные моменты времени, однако можно ожидать, что в течение любого достаточно длительного промежутка времени  будут наблюдаться  частиц. Таким образом,  имеет смысл средней скорости счета.

Конечно, при любом реальном измерении точное число зарегистрированных частиц , вообще говоря, не будет совпадать с их средним числом. Однако можно спросить, какова вероятность наблюдения некоторого числа  частиц за время, в течение которого в среднем появляются  частиц. Ответ дается распределением Пуассона

.                 (12.1)

С другой стороны, можно интересоваться вероятностными вопросами иного типа. Например, какова вероятность того, что после появления предыдущей частицы следующая появится в момент ? На вопрос, сформулированный таким образом, не существует правильного ответа. Если же мы поинтересовались бы вероятностью того, что интервал между появлениями частиц будет равен или больше , то ответ  мог бы быть получен. Это значит, что можно определить лишь, находится ли момент  внутри некоторого временного интервала. Таким образом, если нас интересует конкретный момент , то должны исходить из бесконечно малого интервала и формулировать вопрос следующим образом: какова (бесконечно малая) вероятность того, что промежуток времени между двумя событиями будет лежать внутри окрестности , окружающей момент ? Ответ записывается в виде

.                 (12.2)

Так приходим к понятию распределения вероятности для непрерывной переменной:  есть отнесенная к единице измерения  вероятность того, что интервал между событиями равен . Запишем распределение вероятности для  как , если  представляет вероятность того, что переменная находится в окрестности  точки . Можно легко распространить это определение на случай двух переменных и написать вероятность распределения  и  как . При этом мы подразумеваем, что вероятность найти переменные  и  в области  плоскости  дается интегралом .

Хотелось бы расширить концепцию вероятности еще дальше. Желательно рассматривать распределения не только отдельных переменных, но также и целых кривых, т. е. хотелось бы построить вероятностные функции, или, точнее, функционалы, которые позволят ответить на вопрос: какова вероятность какой-либо конкретной эволюции физического процесса, развивающегося во времени, например напряжения на вольтметре или цены на товар, или, в случае двух переменных, какова вероятность формы поверхности моря как функции широты и долготы? Все это приводит нас к необходимости рассмотреть вероятность некоторой функции.

Запишем это так. Вероятность наблюдения функции  есть функционал . При этом следует помнить, что вопросы относительно такой вероятности имеют смысл, только если определить интервал, внутри которого мы ищем определенную функцию. Так же, как в приведенном выше примере, мы должны были спросить: какова вероятность найти конец временного промежутка внутри интервала ? Теперь аналогично следует спрашивать: какова вероятность найти функцию в пределах некоторого более или менее ограниченного класса функций (например, среди кривых, заключенных между точками  и ) в течение всего времени интересующего нас хода событий? Если мы назовем такую совокупность функций классом  и спросим, какова вероятность найти функцию  в классе , то ответ записывается в виде интеграла по траекториям

,                 (12.3)

где интегрирование проведено по всем функциям класса .

Это выражение можно осмыслить по аналогии с функцией вероятности для нескольких переменных. Вообразим, что точками  время разбито на дискретные интервалы (как мы это делали в гл. 2, когда только что определили интегралы по траекториям). Тогда значения функции в избранных временных точках  аналогичны аргументам функции распределения многих переменных. Вероятность обнаружения заданной кривой можно понимать теперь как вероятность получения заданной системы величин  в интервале , т. е. . Если затем перейти к пределу, устремляя число дискретных интервалов времени к бесконечности, то получим вероятность обнаружения непрерывной кривой  в интервале , стоящую под знаком интеграла по траекториям в выражении (12.3). Определенный таким образом функционал вероятности и соответствующий вероятностный подход мы будем использовать далее в этой главе.