§ 6. Разложение по возмущениям для векторного потенциала

Сингулярность в матричном элементе перехода для квадрата скорости, выражаемая равенством (7.49), заставляет нас весьма осторожно рассматривать многие соотношения, содержащие скорости. Запишем, например, лагранжиан частицы, находящейся в электромагнитном поле, так:

.               (7.100)

Пусть потенциал  равен нулю; мы учтем лишь векторный потенциал , рассматривая его как малое возмущение. Обозначив

,

запишем разложение в ряд теории возмущений и введем соответствующие матричные элементы перехода:

.                      (7.101)

Член первого порядка равен величине , умноженной на выражение

.                    (7.102)

Нам удобнее переписать это в операторных обозначениях. При определении возмущения  для дискретно заданной траектории (шаг определяется временном интервалом ) можно было бы записать

,                     (7.103)

или же

.              (7.104)

В обоих случаях, переходя к пределу непрерывной траектории, получим отсюда интеграл для . Однако если мы будем рассматривать только одну из компонент вектора  (например, ), то обнаружим, что компонента  отличается от  приблизительно на величину

,                    (7.105)

которая после умножения снова на  должна бы быть поправкой второго порядка для каждого значения , а после суммирования по всем  - поправкой лишь порядка . Однако наши траектории не являются непрерывными и матричный элемент перехода для квадрата среднего значения разности  будет величиной первого порядка малости. Действительно (см. задачу 7.6),

,

,

 и т. д.

с точностью до членов первого порядка по . Следовательно, выражения (7.103) и (7.104) различаются приблизительно на

,                 (7.106)

т. е. на величину нулевого порядка. Отсюда можно заключить, какая же форма выражения для  будет правильной.

Общий ответ на подобный вопрос излагался в гл. 2, где было сформулировано правило для замены действия  суммой вида , содержащей классическое действие  для перехода между двумя соседними точками. Нет необходимости вычислять действие  точно, для этого достаточно приближения, исключающего описанную выше двузначность. С этой точки зрения выражения (7.103) и (7.104) не вполне удовлетворительны, классическая же функция действия для короткого промежутка времени будет очень близка к

.                    (7.107)

Теперь понятно, что правильное выражение для возмущения  равно среднему от выражений (7.103) и (7.104) и матричный элемент перехода в (7.99) равен

.                      (7.108)

Сумму по  вычислим в дальнейшем как некий интеграл по времени, а пока запишем полученный результат в виде оператора  (см. задачу 7.12).

Для электромагнитного потенциала член первого порядка в разложении по возмущениям имеет тот же самый вид, что и член первого порядка в соотношении (6.11), лишь потенциал  заменяется оператором

.

Во втором приближении это уже неверно. Здесь необходимо вычислить

            (7.109)

Если , то ничего не меняется и мы получим член второго порядка, который можно было бы найти из сравнения с соотношением (6.13), подставив вместо потенциала  оператор . Но если , то произведение двух скоростей, взятых в последовательные моменты, даст нам новый член. Учитывая выражение (7.49) и результат задачи 7.6, получим дополнительно

,                 (7.110)

что эквивалентно интегралу  и приводит к тому же результату, что и член нулевого порядка функции действия для потенциала .

Таким образом, разложение по возмущениям для действия, зависящего от вектора-потенциала , имеет тот же вид, что и разложение (6.17), только потенциал  здесь заменен оператором . Мы показали это с точностью до членов второго порядка по ; путем небольшого дополнительного рассмотрения можно показать, что все это верно в любом приближении.

Гамильтониан для частицы в поле с вектором-потенциалом  можно записать в виде

.                     (7.111)

Это выражение отличается от аналогичного выражения для свободной частицы  тем, что здесь стоит оператор . Такая запись позволяет гораздо проще получить те результаты, которые мы до сих пор выводили непосредственными преобразованиями.