§ 5. О формулировке основных законов теории

Все предыдущее изложение статистической механики оставляет желать много лучшего. Основной принцип, утверждающий, что вероятность найти систему в состоянии с энергией  пропорциональна , обычно выводят из рассмотрения взаимодействия сложных систем в течение длительных промежутков времени. Однако при этом возникает связанный с нашим подходом один интересный вопрос.

Обсуждение физики в этой книге мы начали с формулировки законов квантовой механики, применяя для этого метод интегрирования по траекториям (см. гл. 2). Проследим теперь, к чему приведет точка зрения, согласно которой такая формулировка как раз и является фундаментальной. В этом случае оказывается, что статистические свойства системы, квантовое поведение которой описано интегралом по траекториям, выражаются функцией распределения . В свою очередь эта функция также может быть выражена в виде некоторого интеграла по траекториям, очень схожего и тесно связанного с квантовомеханическим интегралом; подобная вещь проделана в соотношении (10.77). Однако для этого не требуется ни понятия волновой функции, ни существования стационарных состояний, ни вышеупомянутой гипотезы о длительном взаимодействии, - ничего из того, что было необходимо для вывода функции распределения в виде (10.1), зависящем от энергии уровней . В заключение вернемся к формулировке  с использованием исходного интеграла по траекториям. Существует ли какая-нибудь возможность получить для любой равновесной системы выражение  прямо через интеграл по траекториям, описывая таким путем изменение ее состояний во времени? Если да, то мы еще не знаем, как это сделать.

Можно было бы спросить: а зачем это нужно? Это все равно что показывать свое умение плавать с заложенными за спину руками. В конце концов вы знаете, что энергетические уровни существуют. Единственным оправданием для такой попытки избавиться от их упоминания послужила бы возможность более глубокого понимания физических процессов или возможность привлечения более мощных статистических методов. Во всяком случае, разобраться в этом было бы интересно.

Отсюда и возникла идея - получить хорошо известный вариационный принцип, позволяющий вычислить наименьшую энергию системы непосредственно из исходной формулировки интеграла по траекториям, а не косвенно (из уравнения Шредингера). Результат излагается в гл. 11. Таким образом, плоды этих чисто академических размышлений оказались до некоторой степени и полезными, и интересными.

Однако (если так предпочтительнее) можно думать, что наша приверженность к определенному способу вычислений вызвана чисто академической заинтересованностью в методах классической физики. Пусть имеется система, подчиняющаяся принципу наименьшего действия, и ее действие определено соотношением

,            (10.91)

так что уравнением ее движения будет

.                       (10.92)

Здесь возникает любопытная ситуация, когда на систему действует сила, зависящая от полусуммы ее прошлого и будущего положений. Для уравнения (10.92) существуют экспоненциально растущие решения, но мы условимся считать допустимыми лишь те движения, при которых  остается конечным и в далеком прошлом, и в отдаленном будущем. Заметим, что если закон действия сформулирован в виде , то отбрасываемые нами решения так или иначе исключаются, поскольку на все вариации траекторий накладывается условие  при .

Для такой системы можно записать некоторое выражение, описывающее сохранение энергии, потому что уравнения движения не зависят от времени. (Ни один простой гамильтониан не дает уравнений движения.) Возможно, что свойства системы позволяют ей подвергаться воздействию молекул газа и так достигать теплового равновесия. Зададимся вопросом: каковы средние значения параметров системы, которая подчиняется уравнению движения (10.92), удовлетворяющих граничным условиям на бесконечности когда система находится в равновесии при температуре ? Возможно, что такая задача неразрешима или, быть может, ее легко решить лишь в данном конкретном случае, когда уравнения движения линейны. Однако наша цель - выяснить, действительно ли для формулировки классической статистической механики необходимо существование гамильтониана и импульса или же можно изучать более широкий класс механических систем, для которых уравнения движения наиболее просто выводятся из принципа наименьшего действия, даже если функция действия содержит не только мгновенные положения и скорости частиц системы.

Этот вопрос представляет собой классический аналог нашего более интересного вопроса: каким образом в случае равновесного состояния системы мы переходим от описания ее механических свойств, выраженного через интегралы по траекториям, к такому же описанию с точки зрения статистической механики.

Задача 10.9. Покажите, что выражение

                     (10.93)

является энергией для уравнения движения (10.92) и представляет собой сохраняющуюся величину.

Вообще для любого функционала действия , не содержащего времени явным образом (т. е. инвариантный относительно преобразования ) существует выражение для энергии  в момент , которая будет сохраняющейся величиной. Это выражение можно найти, отыскивая в первом приближении изменение действия  при замене всех траекторий  на , где  для   и  для  при постоянном . В случае бесконечно малого   равно .

Задача 10.10. Рассмотрите, каким образом можно выразить через интегралы по траекториям статистико-механическое описание частицы, которая находится в магнитном поле, постоянном во времени.