Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Функциональные производныеОбратимся теперь к рассмотрению математического аппарата, который позволит нам в дальнейшем установить интересное соотношение между матричными элементами перехода. Это соотношение приобретает наиболее изящный вид, если воспользоваться понятием функциональной производной. Поскольку с этим математическим понятием знакомы далеко не все, мы целиком посвятим этот параграф его обсуждению.
Численное
значение функционала
Понятно,
что производная Можно
посмотреть на все это и с другой точки зрения. Предположим, что время разделено
моментами
Рассмотрим
теперь
В
этом легко убедиться следующим образом. Если траекторию
что
следует из обычных правил вычисления частных производных. Если теперь
обозначить Можно также воспользоваться понятием дифференциала. При этом сразу пишется выражение
и
для первой вариации любого заданного функционала
где
Задача
7.1. Для действия, заданного в виде
где
все частные производные взяты при Задача
7.2. Покажите, что при
Задача 7.3. Покажите, что если
то
производная
Заметим,
что Общее
соотношение между функционалами, о котором мы упоминали в начале этого
параграфа, можно получить, разлагая в ряд матричный элемент перехода
функциональной производной
и
в интеграле по траекториям функцию
получаем,
что член нулевого порядка в точности равен
Из
этого общего соотношения вытекает много важных следствий. Так, его можно было
бы использовать в качестве отправной точки для вывода законов квантовой
механики; можно было бы вернуться несколько назад и еще раз получить выражение
(7.6). Если речь идет о каком-то обобщении квантовой механики, то можно
предполагать, что это обобщение содержится в функции Можно
получить еще одну форму этого соотношения, если проделать разбиение временного
интервала на
где
Задача 7.4. Выясните, почему обращается в нуль проинтегрированная часть. Окончательно имеем
Это выражение имеет тот же смысл, что и соотношение (7.30). Более удобно записать его в дифференциальной форме
так
как в этом случае можно не указывать переменных, от которых зависят функции Задала
7.5. Покажите, что соотношение (7.34), вообще говоря, может ввести в
заблуждение, поскольку в (7.33) используются только прямоугольные координаты.
Для этого исследуйте соответствующее соотношение в случае, когда используются,
например, сферические координаты и отыскивается производная
|
1 |
Оглавление
|