§ 7. Излучение света

В § 4 гл. 9 мы нашли выражение для амплитуды вероятности того, что поведение материальной системы зависит от ее взаимодействия с электромагнитным полем; это выражается формулой (9.60) и последующими выкладками. Однако наш вывод относился лишь к специальному случаю, когда начальное и конечное состояния поля являются вакуумными и не содержат фотонов. Мы видели, что при этом действие  в интегралах по траекториям следует заменять на эффективное действие .

В общем случае фотоны поля присутствуют как в начале, так и в конце процесса. Для примера рассмотрим случай, когда в начальном состоянии нет ни одного фотона, а в конечном участвует один фотон с импульсом  и поляризацией 1. Единственное изменение, которое при этом вносится в наши предыдущие расчеты, касается интеграла для действия , т. е. выражения (9.61). Теперь мы должны пользоваться соотношением

,              (9.92)

где интегрирование по траекториям выполняется между начальным состоянием вакуума и конечным, содержащим то же состояние вакуума плюс один фотон. В этом случае каждый осциллятор, кроме осциллятора  переходит из начального состояния  в такое же конечное состояние; поэтому интеграл для всех этих осцилляторов не изменяется. Изменится лишь вклад от осциллятора , который теперь становится равным

.                     (9.93)

Это выражение такого же типа, как и выражение (9.63), за исключением того, что переход осциллятора совершается между состояниями  и , тогда как ранее конечное состояние считалось также вакуумным. В § 9 гл. 8 мы рассмотрели поведение гармонического осциллятора под действием внешней силы; теперь воспользуемся этим результатом и запишем

,                    (9.94)

где  - вычислявшееся выше выражение для перехода из вакуумного в вакуумное состояние. Мы видим, что появление одного фотона в конечном состоянии выражается в появлении множителя

.

Поэтому для амплитуды вероятности мы можем записать

.                (9.95)

Аналогичное выражение, которое мы ранее получили с помощью теории возмущений, эквивалентно матричному элементу перехода

.             (9.96)

Очевидно, что полученный результат точно совпадает с результатом теории возмущений, если при вычислении амплитуды перехода вместо действия  применить полное эффективное действие .

Выше было показано, что введение действия  приводит к небольшому изменению энергетических уровней; формально значения энергий становятся в этом случае комплексными. Последнее означает, что излучению соответствует спектральная линия некоторой конечной ширины, называемой естественной шириной линии. Не будем углубляться далее в детали всех этих вычислений и оставим их обсуждение, как и обобщение на большее число поглощаемых и излучаемых фотонов, тем, кто захочет более детально изучить эти специальные вопросы квантовой электродинамики.