§ 4. Взаимодействие поля с веществом

С формальной точки зрения взаимодействие поля излучения с веществом рассмотреть совсем не трудно. Функция действия, представленная формулами (9.30), (9.31) и (9.33), очевидно, соответствует взаимодействию материальной системы с осцилляторами поля излучения, и в этом случае амплитуду следует искать с помощью такого соотношения:

.                     (9.44)

Интегрирование по координатам осцилляторов поля излучения может быть выполнено сразу же, так как все они входят в выражение (9.44) лишь квадратичным образом. Это интегрирование и будет проделано далее.

Излучение атома. Одна из трудностей рассматриваемой проблемы заключается в громоздкости выражений, что обусловлено большим числом координат и импульсов. Поэтому, чтобы уяснить суть дела, начнем с простого случая. Будем решать задачу о вероятности излучения света отдельным атомом, применяя теорию возмущений (предполагается, что взаимодействие света и вещества, которому соответствует , мало и разложение ведется только до членов первого порядка малости).

Если пренебречь функцией действия , то поле излучения и вещество можно рассматривать как независимые системы. Допустим, что состояния свободного атома с волновыми функциями  имеют энергии , где , а символом  обозначены радиусы-векторы  всех частиц атома. Состояние поля излучения можно определить заданием всех целочисленных значений  и .

Энергетические уровни полной системы (излучение плюс вещество при отсутствии взаимодействия между ними) равны

.              (9.45)

Волновая функция этого состояния записывается в виде произведения

,                   (9.46)

где  - волновая функция поля излучения (произведение волновых функций гармонических осцилляторов).

Чтобы рассмотреть излучение фотона атомом, выберем такое начальное состояние, когда атом находится на некотором уровне , а внешних фотонов нет совсем (все числа  и  равны нулю). Соответствующая волновая функция равна

,                   (9.47)

где  берется в виде (9.43). В конечном состоянии атом находится на другом уровне  и, кроме того, имеется один фотон, скажем, с импульсом  и поляризацией 1. В соответствии с задачей 9.8 волновая функция поля излучения имеет вид , поэтому волновая функция конечного состояния всей системы есть

.                  (9.48)

Чтобы найти вероятность перехода за единицу времени (с точностью первого порядка), необходимо в соответствии с формулой (6.79) вычислить матричный элемент  возмущающего потенциала между этими состояниями. Функция действия для возмущения определяется формулой (9.32), а соответствующий ей потенциал имеет вид

,                       (9.49)

где, как и в задаче 9.2, ток  зависит от переменных, связанных с атомом. Этот матричный элемент равен

,               (9.50)

или, в другом виде,

                      (9.51)

так как от координат  здесь зависит только ток . Ожидаемые значения произведения величин  для вакуумного состояния рассматривались в задаче 9.7, где было, в частности, установлено, что интеграл

есть нуль во всех случаях, за исключением одного, а именно при , когда он равен . Обозначим матричный элемент  как . Тогда матричный элемент  запишется в виде . Вероятность перехода за единицу времени при этом равна [ср. формулу (6.94)]

.                   (9.52)

Обычно мы не задаемся вопросом об излучении какого-либо определенного фотона, а хотим вместо этого найти вероятность излучения произвольного фотона (с поляризацией 1) в некоторый малый телесный угол . Для этого необходимо просуммировать  по всем значениям, соответствующим этому направлению. Число значений  в единице объема есть ; если направление  задано, то мы должны взять интеграл по , записав  в виде . Таким образом, вероятность перехода за единицу времени (1 сек) получим в виде

.               (9.53)

Интегрирование по  даст выражение

,                    (9.54)

характеризующее вероятность излучения света с поляризацией 1 по направлению  в телесный угол . Частота излучаемого света

.                (9.55)

Задача 9.9. Для сложной системы в нерелятивистском случае имеем

,                (9.56)

где  - единичный вектор в направлении поляризации света,  и  - заряд и радиус-вектор частицы . Допустим, что длина волны света много больше размеров атома, т. е. квадрат модуля волновой функции, описывающей положение электрона , спадает до нуля на расстоянии, много меньшем чем . Покажите, что при этом экспоненту  можно аппроксимировать единицей и записать матричный элемент как

,               (9.57)

где

.             (9.58)

Функция  называется матричным элементом электрического дипольного момента атома, а приближение, использованное при выводе соотношения (9.57), называется дипольным приближением. Покажите, что полная вероятность излучения света в произвольном направлении за единицу времени равна

.                 (9.59)

[Для этого нужно проинтегрировать выражение (9.54) по всем направлениям с учетом того, что векторы  и  перпендикулярны и что существуют два возможных направления поляризации.]

Исключение переменных электромагнитного поля. Поле излучения представляется квадратичным функционалом действия, поэтому возникает возможность провести интегрирование по всем переменным электромагнитного поля. Именно это мы здесь и проделаем. Нам нужно выполнить интегрирование по всем переменным  и  в выражении (9.44). Для этого нужно еще задать начальное и конечное состояния поля излучения. Сначала выберем наиболее простой случай, считая, что в обоих случаях мы имеем состояние вакуума и все осцилляторы поля излучения переходят из состояний с нулевым числом фотонов в такие же состояния. Амплитуду перехода при этом можно записать как

,                (9.60)

где

                   (9.61)

- функционал от переменных , которые входят в первую часть равенства через токи . Так как действие представляется в виде суммы вкладов от каждой моды , где

,                      (9.62)

то ясно, что функционал  представляет собой произведение соответствующих сомножителей. Интеграл для произвольной моды можно записать как

  (9.63)

С таким типом интегралов по траекториям мы уже неоднократно встречались, если не считать некоторого усложнения, обусловленного комплексным характером переменных, от которых сначала нужно перейти к действительным переменным. Интеграл точно такого же типа рассматривался в § 9 гл. 8 с той лишь разницей, что функция  в формуле (8.136) теперь заменяется на  и  равно ; тогда окончательное выражение (9.63) совпадет с формулой (8.138). Произведение интегралов типа (9.63) для всех  и обеих поляризаций дает функционал  , где

.             (9.64)

Таким образом, вопрос о переходе вакуума в вакуум полностью решается методом интегрирования лишь по траекториям переменных, относящихся к веществу:

.               (9.65)

Обсудим ряд следствий, вытекающих из этого результата (случай, когда начальное или конечное состояние отлично от вакуумного, разбирается в гл. 10).

Основной вывод имеет простой смысл: функцией действия для вещества является не , а модифицированная функция . Это изменение обусловлено взаимодействием вещества с электромагнитным полем.

Такое толкование не является строго классическим, так как функция действия  - комплексная. Можно показать, что законы классической физики, которые получаются из принципа наименьшего действия при использовании только действительной части , в точности совпадают с комбинацией уравнений Максвелла и законов Ньютона. Однако при этом никак не учитывается то обстоятельство, что решения уравнений Максвелла берутся только в виде запаздывающих волн (в самом деле, условие выбора запаздывающих волн нельзя выразить с помощью принципа наименьшего действия, если действие выражается только через координаты частиц; такая функция действия соответствует полусумме опережающего и запаздывающего решений [6 ]).

Займемся теперь исследованием нашего полного квантовомеханического комплексного выражения для , в котором учитывается условие запаздывания.

Первое приближение теории возмущений. Точное вычисление интеграла по  является слишком сложной задачей, поэтому воспользуемся тем, что в выражения для токов в действии  входит электрический заряд частиц . Действие  пропорционально  или в безразмерной форме - постоянной тонкой структуры

- весьма малой величине, точное значение которой берется из опыта. Можно ожидать, что эффекты, обусловленные действием , малы. Мы уже знаем, что, например, значения атомных уровней теория Шредингера дает вполне точно, поэтому здесь могут быть лишь малые ошибки, возникающие из-за пренебрежения действием .

Рассмотрим эффекты, обусловленные действием , в первом порядке по , соответственно - во втором порядке по , используя первоначальное выражение действия в виде (9.32). Введем  - амплитуду вероятности перехода материальной системы из начального состояния  в такое же конечное состояние подобно тому, как это делалось в § 5 гл. 6. Если пренебречь вкладом от , то в нулевом порядке будем иметь

.                 (9.66)

Член первого порядка

     (9.67)

Будем считать, что ; это дает коэффициент, равный двум. Аналогичное выражение уже вычислялось в § 1 гл. 5. Для данного случая получаем

,

где

.             (9.68)

Выделив в этом выражении действительную и мнимую части, можно записать его в виде

.

Действительная часть  соответствует малому сдвигу энергетических уровней, впервые экспериментально обнаруженному Лэмбом и Ризерфордом - так называемому лэмбовскому сдвигу. Этот сдвиг составляет

.               (9.69)

Мнимая часть  имеет вид

                     (9.70)

Амплитуда вероятности того, что атом остается в возбужденном состоянии и не испускает фотонов, записывается теперь как  и соответствующая вероятность равна . Таким образом, вероятность того, что атом, остается в состоянии , экспоненциально уменьшается в зависимости от величины декремента затухания .

Физически это уменьшение вероятности объясняется тем, что атом в состоянии  может испустить фотон и перейти в более низкое состояние . Сравнивая выражения (9.53) и (9.70), мы убеждаемся, что  действительно есть полная вероятность перехода за единицу времени из состояния  во все нижележащие состояния .