§ 5. Спектр шума

Наиболее употребительная характеристика распределения шумов - это спектр их интенсивности (см. задачу 6.26), который определяется как среднее значение квадрата от Фурье-образа шумовой функции, т. е. от

.             (12.49)

Используя наши предыдущие результаты, можно найти

                    (12.50)

Здесь мы использовали функцию , Фурье-образ корреляционной функции  [см. выражение (12.45)].

Если проинтегрировать в последнем из равенств (12.50), то получится бесконечный результат. Поэтому среднеквадратичную величину, которую мы хотим найти, можно определить лишь для некоторого конечного интервала времени. Если взять единичный интервал времени, то можно сказать, что средняя мощность в расчете на 1 сек

.             (12.51)

Мы можем применить некоторые из этих общих результатов к нашему специальному примеру шума, вызванного множеством малых сигналов. Корреляционная функция в этом случае - это просто функция  из формулы (12.22), т. е.

.              (12.52)

Это означает, что функция мощности, называемая обычно спектром мощности, так как она определяется частотой, равна

,                    (12.53)

где  - Фурье-образ функции сигнала . В нашем случае этот простой результат можно истолковать непосредственно. Если сигналы приходят в моменты , так что , то Фурье-образ  равен

.

Таким образом, среднее значение квадрата

.                    (12.54)

А так как моменты  случайны и независимы от  для , то при усреднении ни один из членов с  не дает вклада, так как среднее значение  равно нулю: остаются только члены с . Каждый из них равен , а общее их число , так что средняя величина  в расчете на 1 сек равна .

В частном случае, когда характеристическую функцию можно аппроксимировать функцией белого шума из (12.25), . Это означает, что  не зависит от  и при всех частотах на единичный интервал частоты приходится одинаковая «мощность» [средняя величина  в расчете на 1 сек].

Рассматриваемые распределения очень удобно описывать, задавая распределение вероятности не для , а прямо для ее Фурье-образа  и выражая характеристический функционал не через , а через его Фурье-образ :

.                       (12.55)

Используя это представление, можно записать характеристический функционал для распределения шума, соответствующего равенству (12.43), в следующей форме:

,                  (12.56)

где выражение, обратное (12.55), подставлено непосредственно в (12.43). При этом функционалу (12.56) соответствует вероятностный функционал

.               (12.57)

Этот результат можно получить непосредственно из выражения (12.56). Для этого заметим, что

.                       (12.58)

Тогда в соответствии с определением (12.14) получим

.                 (12.59)

Если теперь допустить, что возможны лишь дискретные значения , разделенные бесконечно малыми интервалами , то интегралы в показателе экспоненты (12.56) и (12.57) можно заменить суммами Римана. При этом наши интегралы по траекториям примут вид

.             (12.60)

Интеграл при каждом значении  вычисляется независимо (выделением полного квадрата). В результате имеем

.                    (12.61)

Объединив отдельные множители в этом произведении, получим функционал (12.57). Ясно, что все происходящее на одной частоте не зависит от происходящего на других частотах, а величина сигнала с частотой , , распределяется по гауссову закону со средним квадратом, пропорциональным .